Kezdőlap


Feladat:	Gy.1642	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/szeptember, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Súlyvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: Gy.1642

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt bizonyítjuk be, hogy ha vesszük az $A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2} = H_{n}$ háromszögben és a rákövetkező $A_{n + 1} A_{n + 2} A_{n + 3} = H_{n + 1}$ -ben is a legkisebb indexű csúcsból kiinduló súlyvonalat, ez a két szakasz ugyanolyan arányban osztja egymást egy belső pontjukban. Elég ezt $n = 1$ esetére belátni. Jelöljük az $A_{2} A_{3}$ szakasz felezőpontját $F_{1}$ -gyel, $A_{3} A_{4}$ felezőpontját $F_{2}$ -vel és az $A_{1} F_{1}, A_{2} F_{2}$ szakaszok közös pontját $T$ -vel.

Nyilván

F_{1} F_{2} | | A_{1} A_{2}

és

F_{1} F_{2} = A_{2} A_{4} / 2 = A_{1} A_{2} / 3

(hiszen

A_{2} A_{4} = 2 \cdot A_{1} A_{2} / 3) .

T A_{1} A_{2}

és

T F_{1} F_{2}

háromszögek hasonlóságából:

\begin{matrix} T A_{1} : T F_{1} = T A_{2} : T F_{2} = A_{1} A_{2} : F_{1} F_{2} = 3 : 1, \end{matrix}

tehát

T

A_{1} F_{1}

és

A_{2} F_{2}

súlyvonalaknak

A_{1}

-től,

A_{2}

-től távolabbi negyedelő pontja.
Ez a tulajdonság tovább öröklődik az indexeknek egyesével való emelésével az

A_{3} F_{3}

A_{4} F_{4}

...

A_{n} F_{n}

szakaszokra.

T

pontunk a felhasznált súlyvonal szakaszok révén egyaránt benne van

H_{1}

-ben és

H_{2}

-ben, tehát minden további

H_{n}

-ben is. Ezzel az állítást bebizonyítottuk