Kezdőlap


Feladat:	Gy.1629	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1976/november, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Trapézok, Párhuzamos szelők tétele, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: Gy.1629

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a trapéz két szárának egyenese metszi egymást, és jelöljük a metszéspontjukat $O$ -val, az adott átló végpontjait $E$ -vel és $F$ -fel.
Húzzunk az adott iránnyal párhuzamost az $E$ ponton keresztül, messe ez az $O F$ egyenest $P$ -ben. A megszerkesztettnek feltételezett trapéz két csúcsa legyen $G$ és $H$ , ahol $G$ az $O F$ , $H$ az $O E$ szögszáron van.

A párhuzamos szelők tétele szerint

\begin{matrix} \frac{O G}{O F} = \frac{O E}{O H} és \frac{O P}{O G} = \frac{O E}{O H}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} O G = \sqrt[]{O P \cdot O F}, \end{matrix}

azaz

O G

mértani középarányos

O P

és

O F

között, s így könnyen megszerkeszthető pl. a derékszögű háromszögre vonatkozó befogótételből.
A feladatnak mindig van megoldása és csak egy, feltéve, hogy

P \neq F \neq O

.
Ha a trapéz száregyenesei nem metszik egymást, akkor a keresett trapéz paralelogramma. A szerkesztés könnyen elvégezhető, ha

E F

felezőpontján át az adott iránnyal párhuzamost húzunk ez kimetszi a másik két csúcsot, feltéve, hogy az átló iránya nem párhuzamos sem az oldalegyenessel, sem a másik átló irányával.

Megjegyzés. A feladat megoldását megtalálhatták megoldóink az 52. kötet 4. szám 147. oldalán Szikszai József: Készítsünk feladatokat c. cikkében. Az ott megoldott II. feladat a kitűzésben szereplő feladattól teljesen függetlenül készült, megfogalmazása is valamelyest eltér az 1629-es gyakorlattól. Megoldásuk azonban megegyezik, ahogy arról olvasóink is meggyőződhetnek.