Kezdőlap


Feladat:	Gy.1628	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1976/november, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: Gy.1628

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $D E$ szakasz fölé rajzoljunk négyzetet, a két új csúcs legyen $F$ és $G$ . Azt kell tehát igazolnunk, hogy $F$ és $G$ a $k$ körön van, azaz a középponttól mért távolsága egységnyi. A tengelyes szimmetria miatt elegendő az egyik pontra bizonyítani az állítást.

Jelöljük

D E

és

O A

metszéspontját

P

-vel,

F G

és

O A

metszéspontját

Q

-val, és legyen

D E = 2 x, O P = y

és

\sqrt[]{7} - 2 = α

.
Mivel az

O D P

háromszög derékszögű és

O D = \frac{1}{2}

, így

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

(1)

Továbbá

O D P Δ \sim O B A Δ

és így

\frac{x}{y} = α

, ahonnan

\begin{matrix} x = α y . \end{matrix}

(2)

O F Q

háromszögből

\begin{matrix} {(y + 2 x)}^{2} + x^{2} = O F^{2} . \end{matrix}

(3)

(1), (2) és (3) összevetéséből

\begin{matrix} \bar{O F^{2}} = \frac{5 α^{2} + 4 α + 1}{4 (α^{2} + 1)} . \end{matrix}

Ez pedig akkor

1

, ha

α

gyöke az

\begin{matrix} α^{2} + 4 α - 3 = 0 \end{matrix}

egyenletnek; és az

α = \sqrt[]{7} - 2

valóban az.