Feladat: Gy.1626 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1976/november, 148. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Diofantikus egyenletek, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/március: Gy.1626

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(x+2)4-x4=y3.(1)
Bevezetve az x+1=uésy/2=v jelöléseket, egyenletünk a következőképpen alakul:
u3+u=v3.(2)
Ha az x,y egész számokra (1) teljesül, akkor (2)-ből látható, hogy v3 egész szám, másrészt v racionális (hiszen egy egész szám fele), ami csak úgy lehetséges, ha v maga is egész. A továbbiakban ezért csak (2) egész megoldásait keressük. Az
(u+1)3-(u3+u)=(3u+1)23+23>0,
valamint
(u3+u)-(u-1)3=(3u-1)23+23>0
azonosságok miatt minden u-ra
(u+1)3>u3+u>(u-1)3,
tehát u3+u csak úgy lehet egy köbszámmal egyenlő, ha u3+u=u3, azaz u=v=0. Ekkor x=-1, és y=0, ez tehát (1) egyetlen egész megoldása.