Kezdőlap


Feladat:	Gy.1625	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1979/január, 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Numerikus és grafikus módszerek, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: Gy.1625

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $n$ szám hetes számrendszerbeli alakját (a számjegysorozatot) $α_{n}$ -nel, ennek a számjegysorozatnak a $k$ alapú számrendszerbeli értékét $α_{n}^{}$ -val. Hasonlóan a nyolcas, illetve kilences számrendszerre $β_{n}, γ_{n}$ , illetve $β_{n}^{}, γ_{n}^{}$ , jelöléseket vezetjük be. Világos, hogy

\begin{matrix} n = α_{n}^{} = β_{n}^{} = γ_{n}^{}, \end{matrix}

továbbá azokat az

n

számokat kell meghatároznunk, amelyekre

\begin{matrix} 24 875 < α_{n}^{} + β_{n}^{} + γ_{n}^{} < 25 125. \end{matrix}

(1)

Vegyük észre, hogy ha

n

értékét növeljük, akkor a

α_{n}^{}

β_{n}^{}

γ_{n}^{}

, is nő, ám ezzel együtt a

α_{n}^{}

β_{n}^{}

és

γ_{n}^{}

is. Így az (1)-nek egymás utáni egész számok tesznek eleget, azaz elég megkeresni azt a legkisebb

n

-et, amire az

α_{n}^{} + β_{n}^{} + γ_{n}^{}

összeg már nagyobb

24 875

-nél, és a legnagyobb olyat, amire az összeg még kisebb

25 125

-nél.
Megmutatjuk, hogy

β_{n}

nem lehet ötjegyű. Tegyük fel, hogy

β_{n}^{} ≧ 10 000

, azaz

n = β_{n}^{} ≧ 10 000^{} = 4096

. Ekkor

α_{n}^{} ≧ 4096 = 14 641^{}

és

γ_{n}^{} ≧ 4096 = 5551^{}

, vagyis

α_{n}^{} + β_{n}^{} + γ_{n}^{} ≧ 14 641 + 10 000 + 5551 = 30 192

. Így

β_{n}

legfeljebb négyjegyű, azaz

β_{n}^{} ≦ 7777

. Sőt

β

első jegye nem lehet hetes sem. Ugyanis az előzőekhez hasonlóan

3584 = 13 310^{} = 7000^{} = 4822^{}

alapján ebben az esetben

\begin{matrix} α_{n}^{} + β_{n}^{} + γ_{n}^{} ≧ 13 310 + 7000 + 4822 = 25 132 \end{matrix}

volna, ami még mindig több

25 125

-nél. Ám az

n = 3583

érték már megfelelő:

\begin{matrix} α_{3583}^{} + β_{3583}^{} + γ_{3583}^{} = 13 306 + 6777 + 4821 = 24 904. \end{matrix}

Ezzel a keresett számok közül a legnagyobbat,

3583

-at megkaptuk. Ha most

3583

-at legfeljebb 6-tal csökkentjük,

α_{n}^{}

és

β_{n}^{}

is legfeljebb 6-tal,

γ_{n}^{}

legfeljebb 7-tel csökken, így az összegük még mindig több lesz

24 875

-nél. Viszont

n = 3583 - 7 = 3576

-ra már az

α_{n}^{}

is több, mint 40-nel kevesebb

α_{3583}^{}

-nál, tehát a feladatot kielégítő számok között a legkisebb

3577

.
Összefoglalva, a kiindulási szám

3577

3578

3579

3580

3581

3582

vagy

3583

valamelyike lehetett.