Kezdőlap


Feladat:	Gy.1623	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/december, 205 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Vektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: Gy.1623

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a $C B$ félegyenest a $C$ pont körül előbb $B C A$ szöggel, majd $C_{2} B_{2} A_{2}$ szöggel forgatjuk el, a $B_{2} A_{2}$ félegyenest kapjuk. Ha a $B C$ félegyenest a $B$ pont körül előbb a $C_{2} B_{2} A_{2}$ szöggel egyenlő $C B A$ szöggel forgatjuk el majd a $B C A$ szöggel egyenlő $B_{1} C_{1} A_{1}$ szöggel, akkor a $C_{1} A_{1}$ félegyenest kapjuk.

Mivel a felhasznált két forgatás egyenlő, csak sorrendjük cserélődik fel, a

C A_{2}

B A_{1}

félegyenesek párhuzamosak, de ellentétes irányításúak (hiszen a

C B

B C

félegyenesek is ilyenek). Megmutatjuk, hogy a

C A_{2}

B A_{1}

szakaszok egyenlők:

\begin{matrix} B_{2} A_{2} : B_{2} C_{2} = B A : B C, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} B_{2} A_{2} = \frac{B A \cdot B_{2} C_{2}}{B C} = \frac{B A \cdot A C}{B C} \\ A_{1} C_{1} : B_{1} C_{1} = A C : B C, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} A_{1} C_{1} = \frac{B_{1} C_{1} \cdot A C}{B C} = \frac{A B \cdot A C}{B C} . \end{matrix}

Ezzel beláttuk, hogy

C A_{2}

B A_{1}

vektorok egymás (

- 1

)-szeresei, így az

A_{1} A_{2}

szakasz felezőpontja valóban ugyanott van, mint

B C

felezőpontja.