Feladat: Gy.1620 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balázs I. J. ,  Blázsik Z. ,  Bozóky-Szeszich E. ,  Buday P. ,  Cseke I. ,  Dinnyés F. ,  Dörnyei Z. ,  Frank J. ,  Fürbusz F. ,  Gordos Zs. ,  Gyuris Zs. ,  Homonnay G. ,  Honos A. ,  Horváth 169 T. ,  Horváth 765 Erzsébet ,  Incze Gabriella ,  Kamondi Z. ,  Kertész Z. ,  Knébel I. ,  Kőrösi G. ,  Kozma J. ,  Magyar Z. ,  Nagy 652 L. ,  Nemes I. ,  Orova Piroska ,  Polák Noémi ,  Rábai Z. ,  Sebestyén Gy. ,  Surány Gábor ,  Szabó 726 T. ,  Szalay T. ,  Szalkai I. ,  Szigeti A. ,  Tankovits T. ,  Turi Z. ,  Vágvölgyi S. ,  Vasvári L. ,  Verő Mária 
Füzet: 1976/november, 145. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/február: Gy.1620

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha {ai} és {bi} barátságos sorozatok, akkor a1=b1=1, hiszen az 1 mint két természetes szám szorzata csak 11 alakban állítható elő. Tegyük fel, hogy {ai} és {bi}, valamint {ai} és {ci} is barátságos sorozatok, de {bi} és {ci} különbözők. Ez azt jelenti, hogy van olyan szám, ami az egyikben benne van, a másikban nincs. Jelöljük a legkisebb ilyet q-val és legyen a q-t nem tartalmazó sorozat {bi}. Mivel q természetes szám és {ai}, {bi} barátságos sorozatok, q előállítható akbi alakban. A q nem eleme a {bi} sorozatnak, azért bi<q. Másrészt q volt a legkisebb olyan szám, amelyet az egyik sorozat tartalmazott, a másik nem, így bi a {ci} sorozatnak is eleme. Ekkor viszont a q=1q=akbi kétféleképpen állítható elő aicj alakban, tehát ai és ci mégsem barátságos sorozatok. Ellentmondásra jutottunk, ami éppen az állítást bizonyítja.

 

  Surány Gábor (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)