Kezdőlap


Feladat:	Gy.1619	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1976/november, 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: Gy.1619

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hányadosok között nincs legnagyobb, mert ott vannak köztük a $10^{k}$ alakú számokból kapott $10^{k}$ -nal egyenlő hányadosok ( $k > 1$ ). A legkisebb hányadost keresve vizsgáljuk először a kétjegyűeket:

\begin{matrix} h = \frac{10 a + b}{a + b} = 1 + \frac{9}{1 + b / a}, \end{matrix}

tehát a hányados akkor a legkisebb, ha

b / a

a legnagyobb, ami

b = 9, a = 1

mellett következik be, ekkor

h = 1, 9

. Legyen

A

tetszőleges

n

-jegyű szám, ahol

n \geq 3

. Akkor

A \geq 10^{n - 1}

, és a jegyeinek összege legfeljebb

9 n

, tehát a hányados legalább

10^{n - 1} / 9 n

. Ez már

n = 3

mellett nagyobb, mint

1, 9

és

n

-ben monoton nő:

\begin{matrix} \frac{10^{n}}{9 (n + 1)} > \frac{10^{n - 1}}{9 n}, \end{matrix}

hiszen ez az egyenlőtlenség a

10 > 1 + \frac{1}{n}

egyenlőtlenséggel ekvivalens. Tehát a legkisebb hányados

1, 9