Feladat: Gy.1618 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ármós L. ,  Benkő T. ,  Béres G. ,  Dienes M. ,  Dobi S. ,  Fegyverneki S. ,  Havrancsik Csilla ,  Kaufmann Z. ,  Kocsis I. ,  Korondi P. ,  Kozák Ágnes ,  Kozma J. ,  Lakatos I. ,  Lendvay A. ,  Mihályfi Gy. ,  Molnár Marianna ,  Nagy T. ,  Németh Csőka M. ,  Oláh K. ,  Papp 513 A. ,  Pintér F. ,  Pósafalvi A.. ,  Rábai Z. ,  Somogyi Á. ,  Szabó 284 Sándor ,  Székely L. ,  Tábori L. ,  Tossenberger J. ,  Tóth B. (Bp.) ,  Tóth B. (Miskolc) ,  Tóth Czifra T. ,  Turi Z. ,  Vágvölgyi S. ,  Winkler R. ,  Zempléni A. 
Füzet: 1976/november, 144. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/február: Gy.1618

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tízes számrendszerben a 9-cel való oszthatóság azért függ csak a számjegyek összegétől, mert (10-1) osztható 9-cel. A keresett számrendszer A alapjának tehát eggyel nagyobbnak kell lennie, egy 4-gyel osztható számnál:

A=4k+1.(1)
A 4-gyel való oszthatóság a tízes számrendszerben az utolsó két jegyből álló számtól függ, mert 10 még nem, de 100 már osztható 4-gyel. A keresett A tehát nem osztható 9-cel, de négyzete igen, tehát A 3-mal osztható, de 9-cel nem.
Az (1) alakú számok között a 9 az első 3-mal osztható, és ettől kezdve k értékét hármasával növelve kapunk 3-mal osztható számokat, vagyis
A=12n+9.(2)
Ezek között azok és csakis azok oszthatók 9-cel, amelyek 3-mal osztható n-hez tartoznak, A keresett számokat tehát (2)-ből úgy kapjuk, hogy benne n helyére 3-mal nem osztható pozitív egészeket írunk.