Kezdőlap


Feladat:	Gy.1617	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Schwarcz Péter
Füzet:	1976/november, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/január: Gy.1617

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A$ -ból kiinduló szögfelező és a $C$ -ből kiinduló magasságvonal metszéspontja $D$ , talppontja $G$ . Belátjuk, hogy $B D$ félegyenes felezi az $A C$ -t, azaz súlyvonal.
Vegyük fel a $D$ ponton keresztül az $E F ∥ A C$ szakaszt, ahol $E$ az $A B, F$ a $B C$ oldal pontja.

Elegendő azt belátnunk, hogy

B D

felezi az

F E

-t, mert akkor felezi minden vele párhuzamos egyenesnek a szögtartományba eső szakaszát, így

A C

-t is.
A

C F D ∢ = 67, 5^{\circ}

, mert

A C B ∢

kiegészítő szöge, az

F C D ∢ = B C G ∢ = 90^{\circ} - 22, 5^{\circ} = 67, 5^{\circ}

.
Tehát

F D = C D

.
Mivel

G A C ∢ = 45^{\circ}

, és

C G A

háromszög derékszögű, így

A C G ∢ = 45^{\circ}

, ahonnan következik, hogy

C D E A

trapéz egyenlő szárú, azaz

C D = E A

.
A

D E A

háromszögben

E A D ∢ = 22, 5^{\circ}

, és

D E G ∢ = 45^{\circ}

miatt

E D A ∢ = 22, 5^{\circ}

, azaz

A E = E D

, de ekkor

E D = A E = C D = F D

, amit bizonyítani akartunk.

Schwarcz Péter (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)