Kezdőlap


Feladat:	1614. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Nagy Attila
Füzet:	1976/november, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/január: 1614. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdéses kifejezést írjuk át az

\begin{matrix} x^{2} + (y + a) x + (y^{2} + b y + c) \end{matrix}

(1)

alakba. Ez a kifejezés pontosan akkor lesz minden (

x, y

) számpárra pozitív, ha

y

tetszőleges rögzített értéke mellett (1) minden

x

számra pozitív. Mivel (1)-ben az

x^{2}

-es tag együtthatója pozitív, ez pontosan akkor következik be, ha (1) diszkriminánsa, azaz

{(y + a)}^{2} - 4 (y^{2} + b y + c)

negatív, azaz ha

\begin{matrix} 3 y^{2} + y (4 b - 2 a) + (4 c - a^{2}) > 0. \end{matrix}

(2)

Így (1) pontosan akkor pozitív minden (

x, y

) számpárra, ha (2) teljesül minden

y

számra. Ez utóbbi viszont akkor teljesül, ha (2) diszkriminánsa negatív, azaz

\begin{matrix} a^{2} - a b + b^{2} < 3 c, \end{matrix}

(3)

amivel a keresett feltételt megadtuk.

Nagy Attila (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. A kifejezés négyszeresét megfelelő módon átalakítva a következő alakhoz jutunk:

\begin{matrix} {(2 x + y + a)}^{2} + 3 {(y + \frac{2 b - a}{3})}^{2} + (4 c - a^{2} - \frac{{(2 b - a)}^{2}}{3}) . \end{matrix}

Könnyen látható, hogy ez pontosan akkor lesz minden (

x, y

)-ra pozitív, ha a harmadik tagja pozitív, amiből ismét a (3) feltételt kapjuk.

Megjegyzés. Eredményünk azt jelenti, hogy az

x^{2} + x y + y^{2} + a x + b y

függvény minimuma

(a b - a^{2} - b^{2}) / 3