Feladat: 1612. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Balázs I. J. ,  Blázsik Z. ,  Bodó Z. ,  Bogdán Klára ,  Buday P. ,  Cseke I. ,  Deák Anna ,  Dinnyés F. ,  Erdélyi T. ,  Fordos G. ,  Frank J. ,  G. Horváth Á. ,  Gál L. ,  Hajnal P. ,  Honos A. ,  Horváth Á. ,  Horváth T. ,  Incze Gabriella ,  Kamondi Z. ,  Kertész Z. ,  Knébel I. ,  Kőrösi J. ,  Kozma J. ,  Magyar Z. ,  Misley M. ,  Nagy A. ,  Nagy L. ,  Nagy M. ,  Németh Csőka M. ,  Prisetsky G. ,  Pörneczi T. ,  Quittner G. ,  Rábai Z. ,  Rapai T. ,  Simek A. ,  Somogyi Á. ,  Somogyvári A. ,  Surány G. ,  Szabó K. ,  Szabó S. ,  Szalay T. ,  Tábori L. ,  Tankovits T. ,  Turán T. ,  Vágvölgyi S. ,  Vajda Júlia ,  Váradi F. ,  Varga G. ,  Vasvári L. ,  Verő Mária ,  Winkler R. ,  Zempléni A. 
Füzet: 1976/május, 213 - 214. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Logikai feladatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/január: 1612. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen A az első csapat legeredményesebb játékosa, vagyis az, aki az első csapatban a legtöbb győzelmet aratta. (Ha több ilyen van, legyen A ezek közül az egyik.) A feltétel szerint A-nak volt veresége, az őt legyőző versenyzők közül legyen az egyik B. Mivel B megverte A-t, ezért ő csak egy A-tól különböző C-től kaphatott ki.
Mivel A a csapatának legjobb játékosa, van a második csapatban olyan D játékos, akit A megvert, és akitől C kikapott, Ha ugyanis nem lenne ilyen játékos, akkor C több győzelmet aratott volna, mint A, hiszen ő B-t is megverte. Ezzel beláttuk az állításunkat, mert az A,B,C,D játékosok körbeverték egymást.

 

II. megoldás. Ha tetszőleges játékoson kezdve sorba állítjuk a mérkőzés résztvevőit úgy, hogy mindenki mögé olyan játékos kerüljön, akit megvert, akkor a sor előbb-utóbb körré alakítható, vagyis egyszer csak eljutunk egy olyan játékoshoz, aki valamelyik előtte állót verte meg. Amíg ez nem következik be, nem szakadhat meg a sor, hiszen mindenki legalább egy mérkőzését megnyerte. Tehát találhatók olyan játékosok, akik körbe verték egymást. Egy-egy ilyen csoport csak páros sok játékosból állhat, hiszen benne mind a két csapatból ugyanannyian vannak. Megmutatjuk, hogy a legkisebb ilyen csoport négytagú.
Kéttagú a csoport nyilván nem lehet, ha tehát az állításunk nem volna igaz, volna olyan 4-nél nagyobb N szám, hogy volna N-tagú egymást körbeverő csoport, de N-nél kevesebb tagú nem volna. Vegyünk egy N-tagú körbeverő csoportot, és legyen A ennek tetszőleges tagja, B,C,D pedig rendre, akit A,B,C megvert. Ha D megverte volna A-t, A,B,C,D körbeverő csoport volna. Ha D kikapott volna A-tól, az eredeti N-tagú csoportból elhagyhatnánk B-t és C-t, a csoport körbeverő maradna. Mindkét esetben ellentmondásra vezetett feltevésünk, tehát a minimális tagszámú körbeverő csoport csak négytagú lehet.
 

Megjegyzések. 1. A második megoldásban csak azt használtuk fel, hogy mindenki győzött legalább egyszer.
2. Belátható az állítás a csapatok létszáma szerinti indukcióval is.