|
Feladat: |
1612. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Balázs I. J. , Blázsik Z. , Bodó Z. , Bogdán Klára , Buday P. , Cseke I. , Deák Anna , Dinnyés F. , Erdélyi T. , Fordos G. , Frank J. , G. Horváth Á. , Gál L. , Hajnal P. , Honos A. , Horváth Á. , Horváth T. , Incze Gabriella , Kamondi Z. , Kertész Z. , Knébel I. , Kőrösi J. , Kozma J. , Magyar Z. , Misley M. , Nagy A. , Nagy L. , Nagy M. , Németh Csőka M. , Prisetsky G. , Pörneczi T. , Quittner G. , Rábai Z. , Rapai T. , Simek A. , Somogyi Á. , Somogyvári A. , Surány G. , Szabó K. , Szabó S. , Szalay T. , Tábori L. , Tankovits T. , Turán T. , Vágvölgyi S. , Vajda Júlia , Váradi F. , Varga G. , Vasvári L. , Verő Mária , Winkler R. , Zempléni A. |
Füzet: |
1976/május,
213 - 214. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Indirekt bizonyítási mód, Logikai feladatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1976/január: 1612. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az első csapat legeredményesebb játékosa, vagyis az, aki az első csapatban a legtöbb győzelmet aratta. (Ha több ilyen van, legyen ezek közül az egyik.) A feltétel szerint -nak volt veresége, az őt legyőző versenyzők közül legyen az egyik . Mivel megverte -t, ezért ő csak egy -tól különböző -től kaphatott ki. Mivel a csapatának legjobb játékosa, van a második csapatban olyan játékos, akit megvert, és akitől kikapott, Ha ugyanis nem lenne ilyen játékos, akkor több győzelmet aratott volna, mint , hiszen ő -t is megverte. Ezzel beláttuk az állításunkat, mert az játékosok körbeverték egymást.
II. megoldás. Ha tetszőleges játékoson kezdve sorba állítjuk a mérkőzés résztvevőit úgy, hogy mindenki mögé olyan játékos kerüljön, akit megvert, akkor a sor előbb-utóbb körré alakítható, vagyis egyszer csak eljutunk egy olyan játékoshoz, aki valamelyik előtte állót verte meg. Amíg ez nem következik be, nem szakadhat meg a sor, hiszen mindenki legalább egy mérkőzését megnyerte. Tehát találhatók olyan játékosok, akik körbe verték egymást. Egy-egy ilyen csoport csak páros sok játékosból állhat, hiszen benne mind a két csapatból ugyanannyian vannak. Megmutatjuk, hogy a legkisebb ilyen csoport négytagú. Kéttagú a csoport nyilván nem lehet, ha tehát az állításunk nem volna igaz, volna olyan 4-nél nagyobb szám, hogy volna -tagú egymást körbeverő csoport, de -nél kevesebb tagú nem volna. Vegyünk egy -tagú körbeverő csoportot, és legyen ennek tetszőleges tagja, pedig rendre, akit megvert. Ha megverte volna -t, körbeverő csoport volna. Ha kikapott volna -tól, az eredeti -tagú csoportból elhagyhatnánk -t és -t, a csoport körbeverő maradna. Mindkét esetben ellentmondásra vezetett feltevésünk, tehát a minimális tagszámú körbeverő csoport csak négytagú lehet.
Megjegyzések. 1. A második megoldásban csak azt használtuk fel, hogy mindenki győzött legalább egyszer. 2. Belátható az állítás a csapatok létszáma szerinti indukcióval is.
|
|