Kezdőlap


Feladat:	1605. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Adányi B. , Agg F. , Bata Gabriella , Benkő T. , Blázsik Z. , Déri Zs. , Dörnyei Z. , Fegyverneki S. , Frits Gabriella , Győri Erzsébet , Holup Zsuzsa , Huszka Erzsébet , Illés D. , Jakab Ágnes , Kamondi Z. , Kántor S. , Kaufmann Z. , Kereszti Zs. , Kiss 723 A. , Kozák Ágnes , Körösi G. , Lendvay A. , Márkus Z. , Mészáros 152 Gy. , Müller Sz. , Nagy 221 A. , Németh R. , Orosz I. , Orosz István , Pál E. , Pálffy I. , Pósafalvi A. , Rábai Z. , Simek A. , Sipos T. L. , Solymosi T. , Szabó Zsuzsa , Tábori L. , Takács P. , Tóth 136 I. , Turán T. , Vágvölgyi S. , Vékony Cs. , WinklerR. , Ördög A.
Füzet:	1976/március, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: 1605. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy nem véletlen összefüggésekről van szó; a két feltétel bármelyikéből következik a másik. Ennek érdekében azt fogjuk bizonyítani, hogy a két feltétel mindegyike ekvivalens az

\begin{matrix} m = \frac{a + c}{2} \end{matrix}

(3)

feltétellel.
Jelöljük a trapéz hosszabbik párhuzamos oldalát

a

-val. Mivel a trapéz szimmetrikus, Pitagorasz tételéből adódik, hogy

\begin{matrix} {(\frac{a - c}{2})}^{2} = b^{2} - m^{2}, \end{matrix}

(4)

továbbá igaz a következő azonosság:

\begin{matrix} {(\frac{a + c}{2})}^{2} + {(\frac{a - c}{2})}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} . \end{matrix}

(5)

Helyettesítsük be (4)-ből az

{(\frac{a - c}{2})}^{2}

-et, kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(\frac{a + c}{2})}^{2} + b^{2} - m^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} . \end{matrix}

Rendezzük az egyenletet a következőképpen:

\begin{matrix} {(\frac{a + c}{2})}^{2} - m^{2} = (\frac{a^{2} + c^{2}}{2}) - b^{2} . \end{matrix}

(6)

(6) jobb oldala a (2) feltétel miatt 0. Ez pontosan akkor teljesül, ha a bal oldalon is 0 van. Figyelembe véve a távolságok hosszának pozitív voltát, kapjuk az

\begin{matrix} m = \frac{a + c}{2} \end{matrix}

összefüggést, azaz (2) valóban egyenértékű (3)-mal.
Most belátjuk, hogy (1) is egyenértékű (3)-mal. Induljunk ki ismét (4)-ből és a következő azonosságból

\begin{matrix} {(\frac{a + c}{2})}^{2} - {(\frac{a - c}{2})}^{2} = a c . \end{matrix}

(7)

(4)-ből (7)-be helyettesítve és (1)-et felhasználva kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(\frac{a + c}{2})}^{2} - b^{2} + m^{2} = a c \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(\frac{a + c}{2} - m)}^{2} = 0, \end{matrix}

ami valóban ekvivalens (3)-mal.

Megjegyzés. Felhasználhattuk volna a bizonyítás során azt az észrevételt is, hogy az így kapott trapéz átlói merőlegesek egymásra. A megoldásban szereplő (3) feltétel azt jelenti, hogy a szóban forgó trapézok egy négyzetből származtathatók úgy, hogy annak két párhuzamos oldalát egyenlő, de ellentétes irányú szöggel elforgatjuk a felezőpontjuk körül.

Orosz István (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o. t.)