Kezdőlap


Feladat:	1602. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bodó Zalán
Füzet:	1976/március, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: 1602. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $B$ számjegyeinek összegét $C$ -vel, feladatunk $C$ -t ki-számítani. Először adjunk felső becslést $A$ , $B$ , $C$ értékére! $4444^{4444} < 10 000^{4444} < 10 000^{5000} = 10^{20 000}$ miatt számunk legfeljebb $20 000$ jegyű, és így számjegyeinek összege, azaz $A$ , legfeljebb $9 \cdot 20 000 < 200 000$ ; $A$ tehát legfeljebb hatjegyű szám. Így számjegyeinek összege $B$ , nem több $6 \cdot 9 = 54$ -nél. Ez pedig azt jelenti, hogy $C$ legfeljebb 13 lehet, hiszen 54-nél nem nagyobb számok számjegyeinek összege 49 esetében a legnagyobb, és akkor éppen 13. Azt kaptuk tehát, hogy

\begin{matrix} C \leq 13. \end{matrix}

Másrészt tudjuk, hogy egy szám kilenccel osztva ugyanannyi maradékot ad, mint számjegyeinek összege. Ezek szerint

4444^{4444}

A

B

, valamint

C

kilenccel osztva ugyanazt a maradékot adják. Az alábbi átalakításból azonnal kapjuk, hogy ez a maradék

7 : 4444^{4444} = (4444^{4444} - 7^{4444}) + 7 (7^{3 \cdot 1481} - 1) + 7

. Ugyanis

a^{n} - b^{n}

minden

n

természetes számra osztható

(a - b)

-vel, és most

4444 = 7 = 9 \cdot 493

és

7^{3} - 1 = 342 = 9 \cdot 38

oszthatók kilenccel.
Így

C

legfeljebb 13 és kilenccel osztva 7-et ad maradékul, tehát

C

értéke, azaz

B

számjegyeinek összege 7.

Bodó Zalán (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)