Kezdőlap


Feladat:	1601. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kató Ibolya
Füzet:	1976/március, 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenség-rendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: 1601. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nézzük meg mit mondanak egyenlőtlenségeink az $a$ értékéről. Gyűjtsük össze mindhárom egyenlőtlenségben az $a$ -t tartalmazó tagokat az egyik oldalra! Így a következő három, az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenségeket kapjuk:

\begin{matrix} a & < c + d - b & (2) \\ a (c + d - b) & < c d - b c - b d & (3) \\ a (c d - b c - b d) & < - b c d & (4) \end{matrix}

A feladat kikötése szerint

a

b

c

d

mindannyian pozitív számok. Ezért (2) miatt

c + d - b

is pozitív. Így (3) bal oldala is pozitív, tehát jobb oldala

c d - b c - b d

is az, végül (4) szerint

- b c d

is pozitív, ami

b

c

d > 0

miatt lehetetlen.
Ellentmondásra jutottunk, ami azt jelenti, kiinduló feltételünk közül valamelyik nem igaz. És mivel az egyetlen kiinduló feltételünk az volt, hogy (1) mindhárom egyenlőtlensége teljesül, ezzel éppen a gyakorlat állítását kaptuk.

Kató Ibolya (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Ha

a

és

b

negatív,

c

és

d

pozitív számok, úgy (1) mindhárom egyenlőtlensége teljesül. Továbbá (1) három egyenlőtlensége közül bármelyik kettő teljesülhet egyszerre pozitív

a

b

c

d

számokkal, amiről az

a = b = 1

c = d = 4

;

a = b = 2

c = 1

d = 4

;

a = b = 4

c = d = 1

értékek behelyettesítésével könnyen meggyőződhetünk.