Feladat:	1600. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balogh Gy. ,  Farkas Csilla ,  Fegyverneki S. ,  Fischer P. ,  Gordos Zs. ,  Illés D. ,  Kauffmann Z. ,  Kiss 799 Edit ,  Kőrösi G. ,  Kozma J. ,  Lábadi Z. ,  Leposa P. ,  Müller Sz. ,  Nagy 221 Attila ,  Nagy 267 János ,  Nagy 497 Péter ,  Németh R. ,  Nizsalovszki Éva ,  Pulay Ágnes ,  Rábai Z. ,  Selényi Cs. ,  Székely L. ,  Tóth 692 Béla ,  Tóth Czifra T. ,  Varga 711 G. ,  Várnagy P. ,  Vasvári L. ,  Zentai L.
Füzet:	1976/március, 111. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Sakk, Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: 1600. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Nevezzünk "szomszédosnak'' két mezőt, ha az egyikről a másikra egy huszár át tud ugrani. Az ábrát megfigyelve láthatjuk, hogy minden mezőnek pontosan két szomszédja van, kivéve a középsőt, aminek egyetlen sincs. Így a középső mezőre egyáltalán nem tudunk eljutni, ez a mező a továbbiakban számunkra nem érdekes. Rendezzük át a többi nyolc mezőt úgy, hogy a "szomszédosak'' valóban szomszédosak legyenek. Ezt elérhetjük például úgy, hogy a sarokmezőket a helyükön hagyjuk, a köztük levőket pedig tükrözzük a tábla centrumára. Miből áll most egy lépés? Abból, hogy az egyik figurával egy, most már valóban szomszédos mezőre lépünk, feltéve, hogy az üres. Mivel a rendelkezésünkre álló körfolyosón a figurák nem tudják kikerülni egymást, útjuk során a ciklikus sorrendjük nem változhat meg. Ez azt jelenti, hogy ha indulás előtt a bal felső és jobb alsó huszárokat egyessel, a másik kettőt kettessel jelöljük meg, akkor minden lépés után a fehér egyes huszárt az óramutató járásával megegyező irányban haladva fehér kettes, azt a sötét egyes, végül a sötét kettes huszár követi. Ennek alapján azonnal válaszolhatunk a feladat második felére: nem érhető el az a helyzet, amikor az azonos színű bábuk egy‐egy átló két végpontjában helyezkednek el, hiszen ekkor más volna a figurák ciklikus sorrendje. Visszatérve a feladat első feléhez, az könnyen megállapítható, hogy a kívánt helycseréhez 16 lépés elegendő. Lépjenek ugyanis a figurák egymás után egyet‐egyet az óramutató járásával megegyező irányban, és ezt ismételjék meg háromszor. De nem volna-e ennél kevesebb lépés is elegendő? Nem, mert amiatt, hogy a bábuk ciklikus sorrendje változatlan, a sötétek csak úgy cserélhetnek helyet a világosakkal, ha az egyesek az egyesekkel, a kettesek a kettesekkel cserélnek helyet Ehhez pedig mindegyik figurának legalább 4 lépést kell tennie.