Kezdőlap


Feladat:	1599. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/február, 73 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: 1599. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Gördüléskor a hatszöglemez minden csúcsa egy‐egy köríven fordul el, kivéve azt a csúcsot, amely körül az elfordulás történik, az ugyanis helyben marad, s ez a kör középpontja. A kör sugara vagy egy hatszögoldal, vagy valamelyik átló. Ezek hossza 1, illetőleg pl. a $K M N$ háromszögből Pithagorász tétel felhasználásával kiszámítható $K N = 2$ , $K M = \sqrt[]{3}$ . Az elfordulás szöge vagy $60^{\circ}$ vagy $180^{\circ}$ .

A forgatást a

K

csúcs körül a

B

csúcs irányába kezdjük. Az első fordulat

K

helyben marad, az általa megtett út 0. Az

L

csúcs

K

körül egységsugarú körön fordul el

60^{\circ}

-os szöggel, azaz egyhatod körívvel, ekkor a hatszög

P

csúcsa

B

-be jut és így ismét egy oldala illeszkedik a szabályos háromszög egy oldalához. Az

L

által megtett út

\frac{π}{3}

A második elfordulásnál a hatszöget

P

körül

180^{\circ}

-kal kell elforgatni, hogy

P O

oldal

B C

-re kerüljön. A

K

csúcs által megtett út hossza

π

L

csúcs megtett útja

\sqrt[]{3} π

. És így tovább, az egymás utáni forgatáskor

K

és

L

csúcsok által megtett utak hossza a következő:

\begin{matrix} 1. & 2. & 3. & 4. & 5. & 6. \\ L & \frac{π}{3} & \sqrt[]{3} π & \frac{2 π}{3} & \sqrt[]{3} π & \frac{π}{3} & 0 \\ K & 0 & π & \frac{\sqrt[]{3} π}{3} & 2 π & \frac{\sqrt[]{3} π}{3} & π \end{matrix}

A második forgatás után az

L

által megtett út nagyobb, mint a

K

által megtett út, hiszen már

\sqrt[]{3} π > π

Jelöljük

L_{5}

és

K_{5}

-tel az 5. lépés után megtett utakat és hasonlítsuk össze ezeket:

\begin{matrix} L_{5} = \frac{π}{3} (1 + 3 \sqrt[]{3} + 2 + 3 \sqrt[]{3} + 1) = \frac{π}{3} (4 + 6 \sqrt[]{3}), \\ K_{5} = \frac{π}{3} (3 + \sqrt[]{3} + 6 + \sqrt[]{3} + 3) = \frac{π}{3} (9 + 2 \sqrt[]{3}) . \end{matrix}

Képezzük az

L_{5} - K_{5}

különbséget.

\begin{matrix} \frac{π}{3} (4 + 6 \sqrt[]{3} - 9 - 2 \sqrt[]{3}) = \frac{π}{3} (4 \sqrt[]{3} - 5) > 0 \end{matrix}

mivel

\sqrt[]{3} > 1, 73

4 \sqrt[]{3} - 5 > 4 \cdot 1, 73 - 5 = 6, 92 - 5 > 0

Tehát

L_{5} > K_{5}

még mindig teljesül. Hasonlóan igazolhatjuk, hogy a 3. és 4. lépésben is,

L

tette meg a nagyobb utat és közben sem lehet a két út egyenlő.
Számítsuk ki most

L_{6}

és

K_{6}

értékét is.

L

a 6. lépésben helyben marad, azaz

\begin{matrix} L_{6} = L_{5} = \frac{π}{3} (4 + 6 \sqrt[]{3}), \\ K_{6} = \frac{π}{3} (12 + 2 \sqrt[]{3}) és nyilván K_{6} > L_{6} . \end{matrix}

Ami azt jelenti, hogy a 6. forgatás kezdete után valamikor lesz a

K

és

L

által megtett út egyenlő. Pontosan is meghatározhatjuk

K

helyzetét, hiszen tudjuk, hogy egy egységsugarú körön mozog, amelynek középpontja az

L = A

pont, és megtett útja az

L_{5} - K_{5} = \frac{π}{3} (4 \sqrt[]{3} - 5)

különbséggel egyenlő. Jelöljük

K

-nak az előfordulási szögét

α

-val, ekkor

\begin{matrix} \frac{π α}{180^{\circ}} = \frac{π}{3} (4 \sqrt[]{3} - 5), ahonnan \\ α = 60^{\circ} (4 \sqrt[]{3} - 5) \approx 115^{\circ} 41' . \end{matrix}

Azaz a

K

csúcs majdnem a kiindulási hatszög középpontjába kerül, ami felfogható úgy is, hogy a hatszög a kiindulási helyzetből

L

körül mintegy

64^{\circ} 19'

-cel fordult el ellenkező irányba.