Kezdőlap


Feladat:	1596. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bajnai Gabriella
Füzet:	1976/február, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: 1596. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x^{7}$ értéke megegyezik $y^{8}$ értékével, akkor az egyenlet alakja $2 y^{8} = z^{9}$ lesz. Itt a kettes szorzótényezőt célszerűen kihasználhatjuk, ha a hatványalap kettő, vagy kettőnek hatványa. Ebben az esetben $x^{7}$ akkor lesz egyenlő $y^{8}$ -nal, ha $x$ 2-nek a $8 k$ -ik, $y$ pedig a $7 k$ -ik hatványa:

\begin{matrix} {(2^{8 k})}^{7} + {(2^{7 k})}^{8} = z^{9}, \end{matrix}

azaz

2 \cdot 2^{56 k} = 2^{56 k + 1} = z^{9}

. Ha

56 k + 1

osztható 9-cel, akkor már is találtunk olyan,

x

y

és

z

számokat amikre

x^{7} + y^{8} = z^{9}

. Ha

k

-nak kis értékeket adunk, már

k = 4

-re azt kapjuk, hogy

56 \cdot k + 1 = 225 = 9 \cdot 25

, osztható kilenccel:

\begin{matrix} {(2^{32})}^{7} + {(2^{28})}^{8} = {(2^{25})}^{9}, \end{matrix}

(1)

azaz

x = 2^{32}

y = 2^{28}

z = 2^{25}

megoldása az egyenletnek.
További gyök előállítása érdekében az (1) egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a számmal. Ahhoz viszont, hogy ezt a szorzót az egyes kitevők alá vihessük, a szorzót olyan hatványnak kell választanunk, aminek kitevője osztható az egyenletben szereplő kitevőkkel: 7-tel, 8-cal, 9-cel. Szorozzuk tehát (1)-et

n^{7 \cdot 8 \cdot 9}

-cel:

\begin{matrix} {(2^{32} \cdot n^{72})}^{7} + {(2^{28} \cdot n^{63})}^{8} = {(2^{25} \cdot n^{56})}^{9} . \end{matrix}

(2)

Mivel itt

n

bármilyen pozitív egész szám lehet, az egyenletnek valóban végtelen sok pozitív egész megoldása van.

Bajnai Gabriella (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.)