Feladat:	1595. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Ármos L. ,  Balogh Elvira ,  Csordás A. ,  Déri Zs. ,  Fazekas Eszter ,  Fegyverneki S. ,  G. Horváth Á. ,  Gyurics Zs. ,  Kácsor J. ,  Kaufmann Z. ,  Kiss A. ,  Kovács 134 I. ,  Kovács 741 G. ,  Kovács Rita ,  Kozma J. ,  Lencsés Gy. ,  Lendvay A. ,  Molnár Mariann ,  Nagy Attila ,  Oláh S. ,  Palkó Ibolya ,  Pósafalvi A. ,  Réti S. ,  Sipos L. ,  Szalkai I. ,  Szendrei Gy. ,  Tábori L. ,  Vágvölgyi S. ,  Várnagy P. ,  Winkler R. ,  Zempláni A.
Füzet:	1976/február, 71 - 72. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: 1595. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-\left(b-1\right)}{1}+\frac{x-\left(b-2\right)}{2}+\frac{x-\left(b-3\right)}{3}+\text{...}+\frac{x-\left(b-n\right)}{n}=\frac{x-1}{b-1}+\frac{x-2}{b-2}+\frac{x-3}{b-3}+\text{...}+\frac{x-n}{b-n}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A $b>n$ kikötés miatt (1) jobb oldalán a nevezőben sehol sem áll nulla. Mindkét oldalon $n$ tag szerepel, ha mindegyikből 1-et levonunk, (1) a következőképpen alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-b}{1}+\frac{x-b}{2}-\text{...}+\frac{x-b}{n}=\frac{x-b}{b-1}+\frac{x-b}{b-2}+\text{...}+\frac{x-b}{b-n}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Ebből a felírásból látszik, hogy $x=b$ mindig megoldása (1)-nek. Ezenkívül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\text{...}+\frac{1}{n}\ne \frac{1}{b-1}+\frac{1}{b-2}+\text{...}+\frac{1}{b-n}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) akkor (1)-nek ezen kívül más megoldása nincs is. Ha viszont (3)-ban egyenlőség áll, akkor (2) és így (1) is minden valós $x$-re teljesül.   Próbáljuk a (3) feltételt egyszerűbb alakba írni! A $b>n$ feltétel miatt $1/\left(b-n\right)\le 1/1$, $\text{...}$, $1/\left(b-1\right)\le 1/n$, azaz (3) jobb oldala legfeljebb akkora, mint bal oldala, és egyenlőség csak akkor áll, ha $b-n=1$, azaz $b=n+1$. Így (3) ekvivalens a $\begin{array}{c}{\displaystyle b\ne n+1}\end{array}$ (3$\text{'}$) feltétellel.   Ha tehát $b\ne n+1$, akkor (1) egyetlen megoldása $x=b$; ha pedig $b=n+1$, akkor (1)-et minden valós szám kielégíti.