Feladat: 1593. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Lelovics Ferenc 
Füzet: 1976/január, 27 - 28. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Négyzetek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/szeptember: 1593. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövege nem zárja ki azt, hogy b és d azonosak legyenek, legyük fel azonban először, hogy ez nincs így. Ekkor b merőleges d-re és az a,b; b,c; c,d; d,a  párok közti szögek mind 45∘-osak. Megrajzolva a mondott második érintőket, azt tapasztaljuk, hogy azok egy négyzetet határoznak meg.

 

 

Ennek igazolása érdekében megmutatjuk, hogy ha a p, q egyenesek 45∘-os szöget zárnak be, és r tetszőleges egyenes, amelynek p-re vonatkozó tükörképe p', q-ra vonatkozó tükörképe pedig q', akkor p' merőleges q'-re.
Jelöljük p és q metszéspontját M-mel, az M-en át r-rel párhuzamosan húzott egyenest s-sel, s-nek p-re, q-ra vonatkozó tükörképét p*-gal, illetve q*-gal.
 

 

Mivel párhuzamos egyeneseknek tetszőleges egyenesre vonatkozó tükörképe párhuzamos, p' párhuzamos p*-gal, és q' q*-gal. Elég tehát belátnunk, hogy p* merőleges q*-ra. Ha s-t M körül elforgatjuk pozitív irányban α szöggel, p* is, q* is negatív irányban fordul el M körül α szöggel, tehát a p*, q* közti szög közben változatlan marad. Forgassuk el s-t addig, míg p-vel azonos nem lesz, ekkor p* is azonos p-vel, q* pedig p-nek q-ra vonatkozó tükörképe lesz, ami valóban merőleges p-re.
Rátérünk feladatunk állításának az igazolására. Jelöljük a mondott érintőt e-vel, e-nek az a, b, c, d egyenesekkel alkotott metszéspontját A-val, B-vel, C-vel, D-vel, az ezekből húzott második érintőt rendre a'-vel, b'-vel, c'-vel, d'-vel. Mivel az A-ból a körhöz húzott két érintő szimmetrikus OA-ra, a' az e-nek a-ra vonatkozó tükörképe. Hasonlóan a b', c', d', érintők e-nek a b, c, d egyenesekre vonatkozó tükörképei. Mivel az a, b, c, d egyenesek között rendre 45∘-os szög van, a' merőleges b'-re, b'c'-re, c'd'-re és d'a'-re. Emiatt a' párhuzamos c'-vel, de nem lehet vele azonos, mert e-t különböző pontokban metszik. Hasonlóan b' és d' párhuzamosak és különbözőek. Mivel ezek az egyenesek érintik a kört, valóban négyzetet határoznak meg.
Ha b és d mégis azonosak volnának, akkor b' és d' is azonosak, tehát a négyzetnek csak három oldalát kapjuk meg, de az egyik oldalát kétszer. Ebben az esetben az a', b', c', d' egyenesek nem határoznak meg négyszöget a szokásos értelemben.
 

Lelovics Ferenc (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)

 

Megjegyzés. A feladattal kapcsolatban számos versenyző küldött be dolgozatot, melyeknek jelentős százalékát nem lehetett megoldásként értékelni. Ennek fő oka, hogy sok kezdő pontverseny-résztvevő úgy gondolta, hogy a "Mit mondhatunk a négyszögről?'' kérdésre elegendő egy mondattal válaszolni, egy ábra alapján:  "Ez a négyszög négyzet.'' Nyilvánvaló, hogy egy matematikai versenyfeladat megoldásának egzakt bizonyítást vagy igazolt helyességű eljárást kell tartalmaznia! Szintén jelentős volt azoknak a száma, akik a feladatot geometriai szerkesztési problémának tekintették, és egy véletlenszerű e egyenes felvételével megszerkesztették az ábrát. Ennek során részletesen leírták azokat a szerkesztési lépéseket, amelyek tömör és általános formában a feladat kitűzésében szerepeltek! Ezután fölösleges diszkusszió következett ‐ amelynek eredményeként megállapították, hogy a szerkesztés nem végezhető el akkor, amikor e nem metszi valamelyik egyenest ‐ vagyis amit eleve kizárt a kitűzés.