Feladat: 1587. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1976/január, 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/május: 1587. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ha a tér valamely P pontjához található G-nek olyan AB húrja, amelynek F felezőpontjára FP<AF teljesül, akkor P-nek a G gömb O középpontjától mért távolságára

OP≦OF+FP<OF+FA
teljesül. Az OFA háromszög derékszögű, és OA átfogójának nagysága nem függ P helyzetétől, hiszen ez nem más, mint G sugara. Ismeretes, hogy a közös átfogójú derékszögű háromszögek közül az egyenlő szárúban a legnagyobb a befogók összege (l. pl. KÖMAL Gy. 1573, 51/3, 140. old.). Ha OFA egyenlő szárú, akkor OF+FA=2r ahol r a G sugara. Ha tehát P megfelel a követelményeinknek, akkor benne van a G-vel koncentrikus, 2r sugarú G1, gömbben.
 

b) Legyen P a G1 gömb tetszőleges belső pontja, azaz legyen OP<2r. Ha P azonos O-val, G bármely átmérőjét választhatjuk AB szerepére. Ha P különbözik O-tól, legyen OA a G-nek tetszőleges, OP-vel 45∘-os szöget bezáró sugara, F az A pont OP egyenesen levő vetülete, B és P' pedig A-nak, illetve O-nak F-re vonatkozó tükörképe. Az OFA háromszög egyenlő szárú, derékszögű háromszög, tehát az OAP'B négyszög négyzet. Emiatt OB=OA, vagyis AB a G húrja, és OP'=2rOP, vagyis P az OP' szakasz belső pontja. Így viszont FP<FP'=FA, vagyis P-nek megvan a kívánt tulajdonsága. A keresett mértani hely tehát a G1 gömb belső pontjainak a halmaza.