Kezdőlap


Feladat:	1585. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bodó Z. , Csapó I. , Csikós B. , Fried M. , Gál L. , Honos Attila , Horváth S. , Kamondy Z. , Lendvay A. , Márkus Z. , Máth J. , Nemes I. , Rábai Z. , Szabó S. , Tankovits T.
Füzet:	1976/november, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: 1585. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $B_{2}$ az $A C$ egyenes tetszőleges pontja, és keressük meg hozzá azt a $C_{2}$ pontot a síkon, amelyre az $A_{1} B_{2} C_{2}$ háromszög hasonló az $A B C$ háromszöghöz, és vele egyező körüljárású, mégpedig úgy, hogy $A_{1}$ az $A$ -nak, $B_{2}$ a $B$ -nek, $C_{2}$ a $C$ -nek felel meg. A hasonlóság miatt:

\begin{matrix} A_{1} C_{2} : A_{1} B_{2} = A C : A B, \end{matrix}

ha tehát a

B_{2}

pontot előbb elforgatjuk

A_{1}

körül a

B_{2} A_{1} C_{2} ∢ = B A C

szöggel, majd a kapott

B'_{2}

pontra

A C : A B

arányú,

A_{1}

centrumú hasonlóságot alkalmazunk, épp a keresett

C_{2}

pontot kapjuk. (Az

A C : A B

arányú hasonlóság

A B > A C

esetén

A C / A B

-szeres kicsinyítést,

A B < A C

esetén

A C / A B

-szeres nagyítást jelent,

A B = A C

mellett pedig az identitás.) Bárhol vesszük is fel

B_{2}

-t az

A C

egyenesen, a mondott forgatás az egyenes forgatásából származó

b'

egyenes valamely pontjába viszi, a centrális hasonlóság pedig a

b'

képeként adódó

b''

egyenesre, hiszen ezek a transzformációk egy egyenes pontjaihoz egy egyenesen levő pontokat rendelnek. Megkapjuk

b'

-t, ha az

A C

egyenes valamely

B_{2}

-től különböző

B_{3}

pontját is elforgatjuk,

b''

pedig az így kapott

b'

-vel párhuzamosan a már megszerkesztett

C_{2}

-n átmenő egyenes lesz.

Ha a keresett

B_{1}

pontból indultunk volna ki, a forgatás és centrális hasonlóság után kapott

C_{1}

pont nem csak a

b''

egyenesen lenne rajta, de az

A B

egyenesen is,

C_{1}

tehát a

b''

és

A B

egyenesek metszéspontja. Belőle

B_{1}

az eddigi lépések megfordításával kapható meg: előbb

A B : A C

arányú,

A_{1}

centrumú hasonlósággal meghatározzuk a

B'_{1}

pontot, majd ebből az előbbi forgatással azonos nagyságú, de ellentétes irányú

A_{1}

körüli forgatással kapjuk

B_{1}

-et.
Célszerű a

B_{2}

pontot úgy választani, hogy

A_{1} B_{2} ∥ A B

teljesüljön, hiszen ekkor

A_{1} C_{2} ∥ A C

és

B_{2} C_{2} ∥ B C

alapján

C_{2}

könnyen szerkeszthető. A forgatáshoz pedig használhatjuk az

A_{1}

centrumú,

B_{2}

-n átmenő körnek

A C

-vel alkotott másik metszéspontját. (Ezt csak akkor nem tehetjük meg, ha a kör érinti

A C

-t, ekkor viszont

A_{1} B_{2} ⊥ A C

miatt

b'

A_{1} B'_{2}

-re

B'_{2}

-ben emelt merőleges lesz.) Miután

C_{1}

megvan,

B'_{1}

mint az

A_{1} C_{1}, b'

egyenesek metszéspontja adódik,

B_{1}

pedig legegyszerűbben a

B'_{2} B'_{1}

szakasz

B_{2}

-ből való visszamérésével kapható meg.
A kapott

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög megfelel a követelményeknek, hiszen

C_{1}

A B

egyenesen van,

B_{1}

A C

-n, és

A_{1} C_{1} : A_{1} B_{1} = A C : A B, A_{1} C_{1} B ∢ = A C B ∢

miatt

A_{1} B_{1} C_{1}

a kívánt módon hasonló

A B C

-hez.
Mivel két egyenes mindig metszi egymást, hacsak nem párhuzamosak, feladatunknak mindig van megoldása, hacsak

b'

nem adódik

A B

-vel párhuzamosnak. Mivel az

A B

egyenesből

b'

-t a

B A C ∢

nagyságú forgatás kétszeri alkalmazásával kapjuk,

b'

akkor lesz párhuzamos

A B

-vel, ha a

B A C

szög

90^{\circ}

-os. Ebben az esetben, ha

b''

azonos

A B

-vel, bármely pontja választható

C_{1}

-nek, különben pedig nincs megoldása a feladatnak. Ha az előbbi esetben

C_{1}

-ként

A B

felezőpontját választjuk,

B_{1}

A C, A_{1}

B C

felezőpontja lehet csak, ha tehát az

A B C

háromszögben

A

-nál derékszög van, akkor a feladatnak végtelen sok megoldása van, vagy nincs megoldása aszerint, hogy

A_{1}

felezi-e

B C

-t vagy sem. Különben, mint láttuk, a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

Honos Attila (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn. és Szakközépisk., II. o. t.)