Kezdőlap


Feladat:	1584. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bodó Z. , Brindza B. , Csikós B. , Fürbusz F. , Homonnay G. , Horváth 169 T. , Köteles Z. , Máth J. , Nagy 578 I. , Neumüller I. , Sali A. , Tankovics T. , Vasvári L.
Füzet:	1976/október, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: 1584. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha csak az első, $a_{1}, a_{2}, ...$ sorozatot vizsgáljuk, két eset lehetséges: vagy van olyan $A$ szám, amelynél a sorozat minden tagja kisebb, vagy nincs. Az első esetben a sorozatban csak véges sok különböző szám fordul elő, van tehát közöttük olyan, amelyik végtelen sokszor szerepel. Legyen $m$ ilyen szám, és legyen $i_{1} < i_{2} < ... < i_{n} < ...$ a sorozat $m$ -mel egyenlő tagjainak az indexe. Ha a sorozatból csak ezeket az elemeket vesszük ki, csupa egyenlő számot kapunk:

\begin{matrix} a_{i 1} = a_{i 2} = ... = a_{i n} = ... \end{matrix}

A másik esetben legyen

i_{1} = 1

, és legyen

i_{2}

a sorozat első

a_{1}

-nél nem kisebb tagjának indexe. Mivel most tetszőleges

A

számhoz található a sorozatban legalább

A

-val egyenlő elem, van ilyen

i_{2}

. Továbbmenve minden

n > 2

számhoz lépésről lépésre határozzuk meg az

i_{n}

indexet úgy, hogy

i_{n}

legyen a sorozat első

a_{i_{n - 1}}

-nél nem kisebb tagjának az indexe. Feltevésünk szerint minden

n

-hez találunk ilyen

i_{n}

-t. Ha a sorozatból csak az így kapott indexekhez tartozó elemeket vesszük ki, azokra

\begin{matrix} a_{i 1} \leq a_{i 2} \leq ... = a_{i n} \leq ... \end{matrix}

teljesül.
A két esetet összefoglalva elmondhatjuk, hogy minden természetes számokból álló sorozatnak van olyan részsorozata, amelyben egyik tag sem kisebb az előtte állónál, azaz a részsorozat monoton növő. (Ha egy sorozatban minden tag nagyobb az előtte állónál, akkor szigorúan monoton növőnek nevezik.)
Tekintsük az

a_{1}, a_{2}, ...

sorozatnak az előbbiek szerint létező monoton növő részsorozatát:

\begin{matrix} a_{i 1} \leq a_{i 2} \leq ... = a_{i n} \leq ... \end{matrix}

(3)

Tekintsük most a

b_{i 1}, b_{i 2} ..., b_{i n}, ...

sorozatot. Ha erre alkalmazzuk az

a_{1}, a_{2}, ...

sorozatra bizonyított állításunkat (alkalmazhatjuk, hiszen ez is természetes számokból álló végtelen sorozat), olyan

j_{1} < j_{2} < ...

indexeket is találhatunk, amelyekre

\begin{matrix} b_{j 1} \leq b_{j 2} \leq ... \leq b_{j n} \leq ... \end{matrix}

(4)

másrészt (3) szerint

\begin{matrix} a_{j 1} \leq a_{j 2} \leq ... \leq a_{j n} \leq ... \end{matrix}

(5)

hiszen a

j

indexek az

i

-k közül kerültek ki. Végül a bizonyított állítást a

c_{j 1}, c_{j 2}, ... c_{j n}, ...

sorozatra alkalmazva kapjuk, hogy vannak olyan

k_{1} < k_{2} < ... < k_{n} < ...

indexek, amikre (4) és (5) szerint

\begin{matrix} a_{k 1} \leq a_{k 2} \leq ... \leq a_{k n} \leq ... \\ b_{k 1} \leq b_{k 2} \leq ... \leq b_{k n} \leq ... & (6) \\ c_{k 1} \leq c_{k 2} \leq ... \leq c_{k n} \leq ... \end{matrix}

Így (2) például

p = k_{2}, q = k_{1}

választással teljesül.

Megjegyzés. A megoldásból az is adódott, hogy végtelen sok

p, q

párt is tudunk választani, valamint hogy a feladat állítása nemcsak három, hanem tetszőleges sok sorozatra is igaz. Viszont ha végtelen sok sorozatot engedünk meg, úgy már az állítás nem igaz. Legyenek ugyanis a sorozatok

\begin{matrix} 1, 0, 0, 0, ... \\ 0, 1, 0, 0, ... \\ 0, 0, 1, 0, ... \\ ⋮ \end{matrix}

Ekkor nincs olyan

p

és

q

természetes szám, hogy minden sorozatban a

p

-edik tag legalább akkora, mint a

q

-adik.