A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha csak az első, sorozatot vizsgáljuk, két eset lehetséges: vagy van olyan szám, amelynél a sorozat minden tagja kisebb, vagy nincs. Az első esetben a sorozatban csak véges sok különböző szám fordul elő, van tehát közöttük olyan, amelyik végtelen sokszor szerepel. Legyen ilyen szám, és legyen a sorozat -mel egyenlő tagjainak az indexe. Ha a sorozatból csak ezeket az elemeket vesszük ki, csupa egyenlő számot kapunk: A másik esetben legyen , és legyen a sorozat első -nél nem kisebb tagjának indexe. Mivel most tetszőleges számhoz található a sorozatban legalább -val egyenlő elem, van ilyen . Továbbmenve minden számhoz lépésről lépésre határozzuk meg az indexet úgy, hogy legyen a sorozat első -nél nem kisebb tagjának az indexe. Feltevésünk szerint minden -hez találunk ilyen -t. Ha a sorozatból csak az így kapott indexekhez tartozó elemeket vesszük ki, azokra teljesül. A két esetet összefoglalva elmondhatjuk, hogy minden természetes számokból álló sorozatnak van olyan részsorozata, amelyben egyik tag sem kisebb az előtte állónál, azaz a részsorozat monoton növő. (Ha egy sorozatban minden tag nagyobb az előtte állónál, akkor szigorúan monoton növőnek nevezik.) Tekintsük az sorozatnak az előbbiek szerint létező monoton növő részsorozatát: Tekintsük most a sorozatot. Ha erre alkalmazzuk az sorozatra bizonyított állításunkat (alkalmazhatjuk, hiszen ez is természetes számokból álló végtelen sorozat), olyan indexeket is találhatunk, amelyekre másrészt (3) szerint hiszen a indexek az -k közül kerültek ki. Végül a bizonyított állítást a sorozatra alkalmazva kapjuk, hogy vannak olyan indexek, amikre (4) és (5) szerint
Így (2) például választással teljesül. Megjegyzés. A megoldásból az is adódott, hogy végtelen sok párt is tudunk választani, valamint hogy a feladat állítása nemcsak három, hanem tetszőleges sok sorozatra is igaz. Viszont ha végtelen sok sorozatot engedünk meg, úgy már az állítás nem igaz. Legyenek ugyanis a sorozatok
Ekkor nincs olyan és természetes szám, hogy minden sorozatban a -edik tag legalább akkora, mint a -adik. |