Feladat:	1583. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Vajda Júlia
Füzet:	1976/november, 138 - 139. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: 1583. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle |1-\sqrt[]{x-2}|\left(-x^2+4x-3\right)=1.}\end{array}$ (1) Az (1) egyenlet bal oldalán $\sqrt[]{x-2}$ szerepel így csak olyan $x$-ek jönnek számításba, amelyekre $x\ge 2$. Másrészt (1) bal oldalán az első tényező nem negatív, így a második tényezőnek pozitívnak kell lennie, másképpen szorzatuk nem lehetne 1: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<-x^2+4x-3=\left(3-x\right)\left(x-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $1<x<3$, vagy az előző korláttal összevetve $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\le x<3.}\end{array}$ (2) Tehát (1) megoldásait elegendő a (2) feltételt kielégítő $x$-ek körében keresnünk. Ha $x$-re igaz (2), akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<1-\sqrt[]{x-2}\le 1}\end{array}$ (3) (és így az abszolút érték jelek elhagyhatók), $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<-x^2+4x-3=1-{\left(x-2\right)}^2\le 1\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Másrészt (1) szerint $1-\sqrt[]{x-2}$ és $-x^2+4x-3$ egymás reciprokjai; (3) és (4) szerint mindkettő értéke $0$ és $1$ közé esik. Ez csak úgy lehetséges, ha mindkettő értéke $1$: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\sqrt[]{x-2}=-x^2+4x-3=1.}\end{array}$ Ebből $x=2$. Mivel ez a (2) egyenlőtlenséget is kielégíti, így $x=2$ az egyenlet egyetlen megoldása.     Vajda Júlia (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)