Kezdőlap


Feladat:	1582. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1979/március, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Numerikus és grafikus módszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: 1582. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $\sqrt[]{48}$ több tizedesjegyre történő kiszámítása helyett próbáljuk meg a kifejezést átalakítani és úgy meghatározni (1) értékét. A belső négyzetgyöktől kifele haladva:

\begin{matrix} 13 + \sqrt[]{48} = 12 + 2 \sqrt[]{12} + 1 = {(\sqrt[]{12} + 1)}^{2} \\ 5 - (\sqrt[]{12} + 1) = 3 - 2 \sqrt[]{3} + 1 = {(\sqrt[]{3} - 1)}^{2} \\ 3 + (\sqrt[]{3} - 1) = (3 + 2 \sqrt[]{3} + 1) / 2 = {(\sqrt[]{3} + 1)}^{2} / 2, \end{matrix}

így az (1) értéke megegyezik az

\begin{matrix} A = 2 + \frac{\sqrt[]{3} + 1}{\sqrt[]{2}} = 2 + \frac{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}}{2} \end{matrix}

szám értékével. Az iskolai függvénytábla szerint

7 \sqrt[]{2} = \sqrt[]{98} < 9, 8995

, ahonnan

\sqrt[]{2} < 1, 414 22

, másrészt

\sqrt[]{6} < 2, 4495

. Ezekből

\begin{matrix} A < 3, 931 86. \end{matrix}

Megmutatjuk még, hogy

3, 931 85 < A

, ami egyenértékű az átrendezés és négyzetreemelés után kapott

1, 732 04 ... < \sqrt[]{3}

egyenlőtlenséggel. Ehelyett a valamivel élesebb

3, 4641 < 2 \sqrt[]{3} = \sqrt[]{12}

egyenlőtlenséget igazoljuk. A táblázat szerint

{0, 0641}^{2} < 0, 004 11

, ezért

\begin{matrix} {(3, 4 + 0, 0641)}^{2} < 11, 56 + 0, 435 88 + 0, 004 11 = 11, 999 99 < 12, \end{matrix}

amint állítottuk. A kérdéses kifejezés értéke tehát négy tizedesjegy pontossággal

3, 9319