Kezdőlap


Feladat:	1576. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/október, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: 1576. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük $G$ -vel, illetve $V$ -vel azt az időt, amely alatt gyalog, illetve vonaton $A$ -ból $B$ -be érünk (esetünkben $G = 4$ óra, $V = 0, 4$ óra), és az $A B$ útvonal tetszőleges $P$ pontjára jelöljük az $A P / A B$ hányadost $x$ -szel. Ekkor $P$ -ből $A$ -ba $x G$ , $B$ -be $(1 - x) G$ idő alatt érünk. Az első választás akkor előnyösebb, ha

\begin{matrix} x G + V < (1 - x) G, azaz x < \frac{G - V}{2 G} . \end{matrix}

x > \frac{G - V}{2 G}

, akkor előnyösebb közvetlenül

B

-be mennünk, ha pedig

x = \frac{G - V}{2 G}

, akkor a kétféle úthoz ugyanannyi idő kell. Esetünkben

\frac{G - V}{2 G} = \frac{9}{20}

, tehát az

A

-tól

A P = \frac{9}{20} A B = 9

km-re levő

C

pont választja el az

A B

szakaszon a kétféle pontokat.

II. megoldás. Tegyük fel, hogy amikor előbb

A

-ba megyünk gyalog, akkor ahelyett, hogy felszállnánk a

B

-be induló vonatra, folytatjuk gyalog az utunkat a megkezdett irányban. Mivel a vonat nálunk tízszer gyorsabban halad, mire az

B

-be ér, mi csak az

A

-tól 2 km-re levő

D

-be jutunk.

Akkor érdemes nekünk előbb

A

-ba mennünk az

A B

szakasz valamely

P

pontjából, ha

P

D

-hez közelebb van, mint

B

-hez, hiszen

D

-t épp úgy választottuk meg, hogy ugyanannyi idő alatt érjünk gyalog

P

-ből

D

-be, mint amennyi idő ahhoz kell, hogy

P

-ből előbb gyalog

A

-ba menjünk, majd onnan vonaton menjünk át

B

-be. Emiatt a

B D

szakasz

C

felezőpontjától

A

felé esnek azok a pontok, amelyekből előnyösebb először

A

-ba menni gyalog, és

C

-től

B

felé vannak azok, amelyekből jobb közvetlenül

B

-be menni. Mivel

D

B

-től

20 + 2 = 22 km

-re van,

B C = 11

km, és

A C = 9

km.

Megjegyzés. A fenti megoldásokban feltettük, hogy

A

-ban nem kell a vonatra várni. Ha ez nem így volna, a döntés előtt még a menetrendet is tanulmányoznunk kellene.