Feladat:	1571. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Juhász Ágnes
Füzet:	1975/október, 71 - 72. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/március: 1571. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{log}{}_x\left(x+y\right)+\text{log}{}_y\left(x+y\right)=4}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle \left(x-1\right)\left(y-1\right)=1.}\hfill & \text{(2)}\end{array}}$ Ahhoz, hogy (1)-ben a logaritmusoknak értelmük legyen, ki kell kötnünk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x>\mathrm{0,}y>\mathrm{0,}x\ne \mathrm{1,}y\ne \mathrm{1,}}\end{array}$ (3) azaz csak olyan $\left(x\mathrm{,}y\right)$ párok lehetnek az egyenletrendszer megoldásai, melyek (3)-t kielégítik. (2)-ben a műveleteket elvégezve; $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=xy\mathrm{,}}\end{array}$ (4) ezt (1)-be helyettesítve ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{log}{}_x\left(xy\right)+\text{log}{}_y\left(xy\right)=2+\text{log}{}_{x}y+\text{log}{}_{y}x=4}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{x}y+\frac{1}{\text{log}{}_{x}y}=2.}\hfill \end{array}}$ Innen ${\left(\text{log}{}_{x}y-1\right)}^2=0$, azaz $\text{log}{}_{x}y=\mathrm{1,}x=y$. Ezt (2)-be helyettesítve ${\left(x-1\right)}^2=1$, ahonnan $x=0$ vagy $x=2$. (3) miatt $x=0$ nem lehet megoldás, tehát az egyenletrendszer megoldása egyedül $x=y=2$ lehet. S hogy ez valóban megoldás, visszahelyettesítéssel azonnal adódik.    Juhász Ágnes (Tata, Eötvös J. Gimn., I. o. t.)