Kezdőlap


Feladat:	1564. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kókai László
Füzet:	1975/október, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/február: 1564. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két egyenlet megfelelő oldalait összeszorozva kapjuk, hogy $(a + b) (c + d) = a b c d$ , amiből

\begin{matrix} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{c} + \frac{1}{d}) = 1 \end{matrix}

(1)

következik. Ha az

a, b, c, d

számok mindegyike legalább 2, akkor

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1, és \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \leq 1. \end{matrix}

Ebben az esetben tehát (1) csak úgy teljesülhet, ha bal oldalán a szorzat mindkét tényezője 1-gyel egyenlő, vagyis

a = b = c = d = 2

. Ezek az értékek a feladat követelményeit is kielégítik.
Ha van az

a, b, c, d

számok között 2-nél kisebb, legyen például ez a

d

szám:

d = 1

. Ekkor az eredeti feltételek szerint

c = a + b

, és

a b = c + 1

, vagyis

\begin{matrix} a b = a + b + 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} (a - 1) (b - 1) = 2 \end{matrix}

következik. A 2-t csak

1 \cdot 2

vagy

2 \cdot 1

alakban lehet nemnegatív egész számok szorzatára bontani, tehát

a = 2, b = 3

, vagy

a = 3, b = 2;