Kezdőlap


Feladat:	1562. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/október, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: 1562. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A derékszögek és a szögfelezés miatt $B E = B C$ , másrészt $B A > B E = B C$ , mert ha $E$ az $A$ -ba esnék, akkor $F$ azonos lenne $O$ -val és nem beszélhetnénk az $E O F$ háromszögről. Így $O E < O A = O B$ , tehát az $E O B$ háromszög szimmetriatengelye nem $O$ -n megy át, hanem vagy $E$ -n vagy $B$ -n.

Az első eshetőségre gondolva

E O = E B = B C = 2 \cdot O G

lenne, ahol

G

A B

oldal felezőpontja, továbbá mint az

E O B

háromszög külső szöge,

O E A ∢ = 2 \cdot O B A ∢ < 90^{\circ}

, mert

O B A ∢ < 90^{\circ}

, tehát

E

G B

szakaszon lenne. Így

O E G ∢ = 30^{\circ}

E O B ∢ = 15^{\circ}

és

O E F ∢ = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 105^{\circ}

lenne, az

O E F

háromszög nem lenne egyenlő szárú, mert nincs két egyenlő szöge.
Ha viszont azzal próbálkozunk, hogy

B

-n megy át az

E O B

háromszög tengelye, akkor

B C = B E = B O = C O

, így

O C B ∢ = 60^{\circ}

és a keresett szög

A C E ∢ = 15^{\circ}

. Ekkor

O E C ∢ = 30^{\circ}

, hiszen kerületi szög a

B

körüli,

E

-n átmenő körben, így

O E B ∢ = 75^{\circ}

és

O B E ∢ = 30^{\circ}

alapján

E O B ∢

75^{\circ}

, tehát

E O = E F

, az

E O F

is egyenlő szárú háromszög, ez megfelel a feladat követelményeinek. ‐ A megoldást befejeztük.