A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Ismeretes, hogy az magasságpontnak mindhárom oldalegyenesre való tükörképe rajta van a háromszög köré írt körön. Ezért -nek -re való tükörképe azonos -vel, hiszen így , és -en át csak egy merőleges van -re, másrészt és közös pontjai és . Ugyanígy az -nek -re való tükörképe. Eszerint , vagyis , és egy középpontú körön vannak rajta. E kör két húrja és . 2. Megmutatjuk, hogy az egyenlő szárú háromszög -nál levő szöge , illetve aszerint, hogy hegyesszög, illetve tompaszög. Ennek alapján , majd az -ből és -ból megszerkeszthető, és rajta kijelölhető lesz, továbbá , , meghatározza -t, és ebből kimetszi -t, pedig -t. Egy konkrét háromszögből kiindulva, révén a középponti szög kétszer akkora, mint vagy a kerületi szög, vagy ennek a kiegészítő szöge aszerint, hogy a egyenesnek az -t tartalmazó partján van, illetve a másik partján. Továbbmenve, a szög mindenképpen egyenlő a szöggel, mert ha kívül adódik -n, akkor e két szög azonos, ha pedig a -ban van, akkor egymás csúcsszögei, hiszen a és húrok közös pontja. -nek -hoz képest külső, illetve belső helyzete ‐ mint ismeretes ‐ azon múlik, hogy van-e tompaszög az háromszög szögei közt, vagy nincs. (Derékszögű háromszögben azonos a derékszög csúcsával.) Tekintsük külön-külön az eseteket. Hegyesszögű háromszögben , ahol az -nek -re való tükörképe (1. ábra).
1. ábra Másrészt elválasztja -t -től, hiszen ekkor a -t nem tartalmazó íven van, a -t nem tartalmazó íven, vagyis a pontok sorrendje , , , és a szakaszok közös pontja. Így a fentiek szerint | |
Tompaszögű háromszögben, ha hegyesszög, választhatjuk úgy a betűzést, hogy , hiszen a és , illetve és pontok szerepe feladatunk szempontjából egyező (2. ábra).
2. ábra Ekkor az egyenesnek -t tartalmazó partján van, tehát ekkor is . ‐ Ha viszont , akkor az -nek -n túli meghosszabbításán van, vagyis -nek -t tartalmazó partján (3. ábra), így | |
3. ábra Ezzel állításunk bizonyítását befejeztük, a szerkesztés egy lehetséges végrehajtását pedig már fönt vázoltuk. A végrehajtásból kiküszöbölhetjük az hegyes- vagy tompaszög voltából adódó vagylagosságot. Fölvesszük a szakasz helyzetét, és körül sugárral kört írunk. -re a végpontjaiban egyirányú merőleges félegyeneseket állítunk. Ezeket , illetve körül egymás felé elfordítjuk -val, metszéspontjuk adja -t, majd még egyszer -val, ezek metszéspontja , a középpontja. Megrajzoljuk -et, ez a -t a magasságpont lehetséges , helyzeteiben metszi, majd -t, ez -ből -t, -ből -t metszi ki, ahol . Amennyiben a szög ()-nak adódik, az a megoldás nem felel meg. A szerkesztés helyességének belátását az olvasóra hagyjuk.
Az előírt méretek között a megoldást biztosító nagyságviszonyokat pontosan egy egyszerű trigonometriai számítás adhatná meg. Külön megemlítjük az esetet. Ebből adódik, hogy csak és lehet, különben az adatrendszer ellentmondó; ha viszont , akkor tetszőleges derékszögű háromszög megfelel, tehát ez az adatrendszer határozatlan. Külön-külön is szükséges, hogy és . A fent leírt szerkesztésben az elsőként felhasznált -re természetesen nincs korlátozás, -re viszont felső korlátot szab, hogy nem lehet nagyobb -nál. |