Feladat: 1556. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: -
Füzet: 1979/március, 115. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt alakzatok, Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/december: 1556. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel egy egységsugarú körbe nem lehet 2-nél hosszabb szakaszokat elhelyezni, a négyszögben az átlók hossza legfeljebb 2. Jelöljük az átlók metszéspontját M-mel, az M-hez legközelebbi csúcsot A-val. (Ha több legközelebbi van, A-t közülük tetszés szerint választhatjuk.) Az A-val szomszédos csúcsok közül az A-hoz közelebbit jelöljük B-vel, a másikat D-vel (egyenlőség esetén ismét tetszőlegesen választva). Végül az A-val szemközti csúcsot jelöljük C-vel, A-nak BD-n levő merőleges vetületét pedig E-vel.

 

 

Mivel AC2 és AMMC, emiatt AM1, és ebből AEAM miatt AE1 következik. Mivel ABAD, így EBED, és ebből BD2 miatt EB1 következik. Az ABE derékszögű háromszögben tehát a befogók nem lehetnek 1-nél hosszabbak, így Pitagorasz tétele szerint az AB átfogó sem lehet 2-nél hosszabb.
 

Megjegyzés. Csak azt használtuk fel a feladat feltevéseiből, hogy az átlók hossza legfeljebb 2.