Kezdőlap


Feladat:	1551. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/április, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Háromszögek nevezetes tételei, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: 1551. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszög $B C$ oldalán felvett $P$ ponton át $A B$ , ill. $A C$ -vel húzott párhuzamos messe a szemközti oldalakat rendre $Q$ -ban és $R$ -ben. Az $A B C$ háromszög területét jelöljük $T$ -vel, az $R B P$ háromszög területét $t_{1}$ -gyel, a $Q P C$ háromszög területét $t_{2}$ -vel, az $A R P Q$ paralelogramma területét $t_{3}$ -mal, az $R B$ szakaszt $x$ -szel, és legyen az $A B$ oldal egységnyi.

1. ábra

R B P

Q P C

és

A B C

háromszögek hasonlóak, ezért területeik úgy aránylanak egymáshoz, mint megfelelő oldalaik négyzetei. Ennek ismeretében írjuk fel a keletkezett 3 rész területét.

\begin{matrix} t_{1} : T = x^{2} : 1, ahonnan t_{1} = T x^{2} . \end{matrix}

Hasonlóképpen kapjuk, hogy

\begin{matrix} t_{2} = T {(1 - x)}^{2}, és \end{matrix}

\begin{matrix} t_{3} = T - (t_{1} + t_{2}) = 2 T x (1 - x) . \end{matrix}

Ábrázoljuk a 3 területfüggvényt egy koordináta-rendszerben.

2. ábra

Az ábrából leolvashatjuk, de számítással is ellenőrizhetjük, hogy ha

\begin{matrix} 0 < x < \frac{1}{3}, akkor t_{2} > T \cdot \frac{4}{9}, \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{1}{3} esetén t_{2} = t_{3} = \frac{4}{9} T, \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{2}{3} esetén t_{1} = t_{3} = \frac{4}{9} T, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{2}{3} < x < 1 esetén t_{1} > \frac{4}{9} T, \end{matrix}

és ha

\begin{matrix} \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}, akkor t_{3} > \frac{4}{9} T . \end{matrix}

Tehát mindig van a részek között olyan, amelynek területe a háromszög területének 4/9 része.