Feladat: 1550. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/április, 155 - 156. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Mértani helyek, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/november: 1550. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel B-nél 40∘-os szög van, a D csúcsot tartalmazó AC ívhez tartozó középponti szög 80∘-os. Jelöljük a kör középpontját O-val, és az OA sugár pozitív, illetve negatív irányú 80∘-os forgatásából származó sugarak végpontjait C1-gyel, illetve C2-vel. A C pont tehát csak a C1, C2 pontok valamelyike lehet.

 

 

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor C=C1. Ekkor D a rövidebb, B a hosszabb AC1 íven van, és a négyszög körüljárása negatív. Az A-t nem tartalmazó BD ívhez tartozó középponti szög a DAB szög kétszerese, tehát 60∘-os, és mivel most az AD félegyenest pozitív irányú forgatás viszi AB-be, az OD-t OB-be vivő 60∘-os forgatás is pozitív irányú. Vigye az O körüli, +60∘-os forgatás A-t A1-be, C1-et B1-be. Mivel D a rövidebb AC1 íven van, és B a D 60∘-os forgatottja, B csak a rövidebb A1B1 íven lehet. De B-nek a hosszabb AC1 íven is rajta kell lennie, emiatt B rajta van a rövidebb C1B1 íven. Ennek az ívnek tetszőleges belső pontja lehet B, hiszen egy ilyen pontot O körül (-60∘)-kal elforgatva, a rövidebb AC1 ív valamely, D szerepére megfelelő pontját kapjuk. Nem kapjuk meg azonban az AC1 ív minden pontját ily módon, csak a C1D1 ív pontjait, ahol D1OC1∢=60∘. Ha tehát C azonos C1-gyel, akkor B, D mértani helye a rövidebb B1C1,C1D1 ív. Hasonlóan kapjuk, hogy ha C≡C2, akkor B, D mértani helye a rövidebb B2C2, C2D2 ív, ahol B2, D2 a B1, D1 pontok AO-ra vonatkozó tükörképei. Tehát B mértani helye a rövidebb B1C1, B2C2 ívek egyesítése, C mértani helye a C1, C2 pontokból álló halmaz, D mértani helye pedig a rövidebb C1D1, C2D2 ívek egyesítése.
 

Megjegyzés. Az persze nem igaz, hogy a B, C, D pontok mértani helyéből tetszőlegesen választott B, C, D pontokból megfelelő ABCD négyszöget kapunk. Mihelyt B-t (vagy D-t) megválasztottuk, a további két csúcs helye már egyértelműen meg van határozva.