Kezdőlap


Feladat:	1549. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Füzet:	1979/január, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Magasságpont, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: 1549. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $B C$ felezőpontját $F$ -fel, $A$ -nak $F$ -re vonatkozó tükörképét $A_{1}$ -gyel, $A_{1}$ -nek $B$ -re, $C$ -re vonatkozó tükörképét $C_{1}$ -gyel, $B_{1}$ -gyel. Ismeretes, hogy az $A B C$ háromszög magasságvonalai az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszögben oldalfelező merőlegesek. Emiatt az $M$ középpontú, $A_{1}$ -en átmenő $k_{1}$ kör átmegy a még ismeretlen $B_{1}, C_{1}$ pontokon. Mivel $A M$ merőleges $B_{1} C_{1}$ -re, az $A$ -n átmenő, $A M$ -re merőleges egyenes kimetszi a $k_{1}$ körből a $B_{1}, C_{1}$ pontokat. Végül $B$ -t, $C$ -t mint az $A_{1} C_{1}, A_{1} B_{1}$ szakaszok felezőpontját kapjuk meg.

Az adott pontok közül

A

és

F

nem lehetnek azonosak, mert

F

B C

oldal pontja,

A

pedig a szemközti csúcs. Mivel

M A_{1} = M B_{1} > M A

, akkor nincs a feladatnak megoldása, ha

M

A A_{1}

szakasz felezőmerőlegesének

A

-val ellentétes oldalán van. Különben

A

k_{1}

kör belső pontja, emiatt

B_{1}

C_{1}

, valamint a

B

C

pontok létrejönnek. Ha azonban

B_{1}

vagy

C_{1}

azonos

A_{1}

-gyel, akkor az

A, B, C

pontok sem lesznek különbözőek. Tehát az sem lehet, hogy

A M

merőleges legyen

A F

-re. Ha pedig

A

és

M

azonosak, akkor a

B_{1} C_{1}

egyenes

k_{1}

-nek tetszőleges,

A A_{1}

-et metsző átmérője lehet.
A szerkesztés szerint a kapott

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögnek

k_{1}

a köré írható köre, és az

A

B

C

pontok rendre a

B_{1} C_{1}

C_{1} A_{1}

A_{1} B_{1}

oldalak felezőpontjai. Emiatt

M

A B C

háromszög magasságpontja. Mivel

B C

felezőpontja azonos

A A_{1}

felezőpontjával, ez valóban az előre megadott

F

pont lesz, tehát a kapott háromszög mindig megfelelő.
Mint láttuk, nincs megfelelő háromszög, ha

A M ≧ A_{1} M

, vagy

A M ⊥ A F

. Különben

A B C

-t egyértelműen meghatároznák az adott pontok, kivéve azt az esetet, amikor

A

és

M

azonos. Ekkor ugyanis végtelen sok megoldás van.