Kezdőlap


Feladat:	1547. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Elek Gábor
Füzet:	1975/május, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: 1547. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden prímszám a 3 kivételével vagy $x + 1$ vagy $x + 2$ alakú, ahol $x$ hárommal osztható szám. Így három esetet különböztetünk meg:

p = 3

. Ekkor

p^{3} + p^{2} + 11 p + 2 = 71

, prímszám.
b)

p = x + 1

, és

x

osztható 3-mal. Ekkor

\begin{matrix} p^{3} + p^{2} + 11 p + 2 = {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{2} + 11 (x + 1) + 2 = x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 15. \end{matrix}

Mivel

x

osztható 3-mal, ezért

x^{3} + 4 x^{2} + 16 x

is, 15 szintén. Így a kérdéses kifejezés is osztható 3-mal. Másrészt

x > 0

miatt értéke legalább 15, így nem lehet éppen 3, és egy 3-nál nagyobb, 3-mal osztható szám pedig biztosan nem prím.

p = x + 2

és

x

osztható 3-mal. Ekkor

\begin{matrix} p^{3} + p^{2} + 11 p + 2 = {(x + 2)}^{3} + {(x + 2)}^{2} + 11 (x + 2) + 2 = x^{3} + 7 x^{2} + 27 x + 36. \end{matrix}

Ez a kifejezés is osztható 3-mal, és értéke legalább 36, így biztosan nem prímszám.
Így a feladat egyetlen megoldása:

p = 3

Elek Gábor (Budapest, Váci utcai Ált. Isk., 6. o. t.)