A feladat megoldásához elég tekintenünk a kérdéses összeg utolsó számjegyét. Ha $n\ge 5$, akkor $n$! (olvasd: $n$ faktoriális) 0-ra végződik, vagyis 10-zel osztható, hiszen törzstényezőként szerepel benne a 2 és az 5. Tehát ha $n\ge 4$, akkor az $1!+2!+\text{...}+n!$ összeg ugyanarra a számjegyre végződik, amire az $1!+2!+3!+4!=33$, azaz 3-ra. De olyan négyzetszám nincs, aminek utolsó számjegye 3, hiszen egy szám utolsó jegyének négyzete nem végződhet hármasra $(1^2=\text{1}\mathrm{,}{2}^2=\text{4}\mathrm{,}{3}^2=\text{9}\mathrm{,}{4}^2=1\text{6}\mathrm{,}{5}^2=2\text{5}\mathrm{,}{6}^2=3\text{6}\mathrm{,}{7}^2=4\text{9}\mathrm{,}{8}^2=6\text{4}\mathrm{,}{9}^2=8\text{1}\mathrm{,}{0}^2=\text{0}$, ezek utolsó jegyei között nem szerepel hármas). Így az $1!+2!+\text{...}+n!$ kifejezés $n\ge 4$ esetén nem lehet teljes négyzet.