Megmutatjuk, hogy a sík bármely $P$ pontjához lehet találni egy, a feltételt kielégítő háromszöget, úgy hogy $P$ a háromszög köré írt kör középpontja legyen.
Rajzoljunk a $P$ pont körül egy elég nagy sugarú kört. Pontosabban a kör sugarát úgy válasszuk meg, hogy nagyobb legyen, mint $P$-nek a három egyenestől vett távolságai közül a legnagyobb. Továbbá, ha az egyenesek között metszők is vannak, a kör sugara ne legyen egyenlő $P$ és a metszéspontok távolságának egyikével sem.
Az így rajzolt kör biztosan metszi az egyenesek mindegyikét két pontban az első kikötés miatt, és két egyenest nem metszhet ugyanabban a pontban a második kikötés miatt.
Válasszunk az $a$-n, $b$-n levő metszéspontok közül tetszőlegesen egyet-egyet, ezeket jelöljük $A$-val, illetve $B$-vel, ezekhez a $c$-n levő metszéspontok közül válasszuk $C$-nek azt, amelyik nincs rajta az $AB$ egyenesen. (Mivel az $AB$, $c$ egyenesek különbözőek, ez mindig lehetséges.) Ekkor az $ABC$ háromszög körülírt körének $P$ lesz a középpontja.
A keresett mértani hely tehát az egész sík.