Feladat:	1541. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/május, 210 - 211. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/október: 1541. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{(1)}y=x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+\text{...}+\sqrt[]{x+\sqrt[]{y}}}}}\mathrm{,}\text{(2)}x+y=6.}\end{array}$ Tekintsük először az (1) egyenlet helyett a nála egyszerűbb $\begin{array}{c}{\displaystyle y=x+\sqrt[]{y}}\end{array}$ (3) egyenletet. Azt állítjuk, hogy a (3), (2) rendszer megoldása kielégíti az (1), (2) egyenletrendszert is. Oldjuk meg ehhez a (3) és (2) egyenletekből álló egyenletrendszert! (2)-t (3)-ba helyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2y-\sqrt[]{y}-6=0}\end{array}$ másodfokú egyenlet $\sqrt[]{y}$-ra. Ennek egyetlen nemnegatív gyöke $\sqrt[]{y}=2$, ahonnan (2) szerint a (2), (3) egyenletrendszer egyetlen megoldása $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\mathrm{4,}x=2.}\end{array}$ (4) Ez az értékpár kielégíti az (1) egyenletet is, hiszen mindegyik négyzetgyökjel alatt álló kifejezés értéke $2+2=4$ lesz. Azt állítjuk, hogy az (1), (2) egyenletrendszernek nincs más megoldása. Ehhez elegendő belátnunk, hogy az egyenletrendszer minden $x$, $y$ megoldása kielégíti a (3) egyenletet. Ezt az állítást indirekt úton bizonyítjuk be: feltesszük, hogy van olyan $x\mathrm{,}y$ pár, mely kielégíti az (1), (2) egyenleteket, de (3)-at nem. Ebből a feltevésből ellentmondásra jutunk. Ha (3) nem áll fenn, akkor vagy $y<x+\sqrt[]{y}$ vagy pedig $y>x+\sqrt[]{y}$. Tekintsük az első esetet. Mivel $x$ és $y$ olyan számokat jelentettek, melyek az (1) egyenletet kielégítik, azért $y\ge 0$ és $x+\sqrt[]{y}\ge 0$ is fennáll. Így az $y<x+\sqrt[]{y}$ egyenlőtlenség mindkét oldalából négyzetgyököt vonhatunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{y}<\sqrt[]{x+\sqrt[]{y}}\mathrm{,}x+\sqrt[]{y}<x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{y}}\mathrm{,}\text{vagyis}y<x+\sqrt[]{y}}\end{array}$ miatt az $\begin{array}{c}{\displaystyle y<x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{y}}}\end{array}$ egyenlőtlenség is áll. Ebből ugyanígy azt kapjuk, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle y<x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{y}}}}\end{array}$ is igaz, végül pedig azt kapjuk, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle y<x+\sqrt[]{x+\sqrt[]{x+\text{...}+\sqrt[]{x+\sqrt[]{y}}}}}\end{array}$ (1974 gyökjel) egyenlőtlenség is igaz. Ezt (1)-gyel összevetve $y<y$, ami nem lehet, ellentmondás. Hasonlóan juthatunk ellentmondásra az $y>x+\sqrt[]{y}$ esetben. Így az eredeti egyenletrendszer egyetlen megoldása: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\mathrm{2,}y=4.}\end{array}$