Feladat: 1540. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/május, 209 - 210. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/október: 1540. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressünk ilyen számot. Mivel a számnak 5-nél nagyobbnak kell lennie, s az 5-nél nagyobb számok 6-os számrendszerben már kétjegyűek, a számunknak legalább kétjegyűnek kell lennie. A szám tízes számrendszerbeli alakjából a számjegyek sorrendjének megfordításával kapjuk a szám hatos számrendszerbeli alakját, így a szám hatos számrendszerben legfeljebb annyi számjeggyel leírt szám lehet, mint a tízes számrendszerben. Viszont a legnagyobb ötjegyű, 6-os rendszerben leírt szám 65-1=7775 tízes számrendszerben csak négyjegyű, azért biztos, hogy tízes számrendszerben legalább öt jeggyel leírható számok hatos számrendszerbeli alakjában több jegy lesz, mint tízes számrendszerbeli alakjukban. Így a feladatbeli számok legfeljebb négyjegyűek lehetnek.
Mivel hatos számrendszerben csak 0 ‐ 5 számjegyek vannak, azért számunkban is csak ezek a számjegyek fordulhatnak elő.
S végül: a szám tízes számrendszerbeli alakjában az első számjegy nem lehet nulla. Ezek után vizsgáljuk külön-külön a két számjeggyel, hárommal, valamint néggyel leírható számokat.
I. A két számjeggyel leírható szám legyen AB. Ez tízes számrendszerben van, hatos számrendszerbeli alakja BA, azaz

10A+B=6B+A,9A=5B,


azaz B osztható 9-cel. De B≤5 miatt B=0 lehet csak, ekkor A=0, amit viszont kizártunk. Így megfelelő kétjegyű szám nincs.
 

II. Három számjegy esetén ABC10=CBA6, azaz
100A+10B+C=36C+6B+A,99A+4B=35C≤175


mivel C≤5. Így az egyenlőség A≠0 miatt csak A=1 esetben állhat:
99+4B=35C.
B 0 és 5 közötti szám, így 35C-nek 99 és 99+20=119 között kell lennie. Ide csak 35⋅3=105 esik; azaz C=3 és
4B=105-99=6,
innen B nem lenne egész. Így háromjegyű szám sincsen.
 

III. Négyjegyű szám esetén ABCD10=DCBA6, azaz
1000A+100B+10C+D=216D+36C+6B+A999A+94B=26C+215D≤26⋅5+215⋅5=1205


így egyenlőség csak A=1 esetében állhat:
999+94B=26C+215D
Mivel 999>990=26⋅5+215⋅4, azért D≤5 miatt csak D=5 állhat fenn:
94B=26C+76<26⋅5+76=206
így B=0,1,2 lehetséges csak.
 

B=0 esetén 0=26C+76, nem lehet
 

B=1 esetén 26C=94-76=18, nem lehet
 

B=2 esetén 26C=188-76=112, nem többszöröse 26-nak.
Így négyjegyű szám nincs.
A megoldás elején említettek szerint négynél többjegyű számok hatos számrendszerbeli alakja több mint négyjegyű, így a megoldást befejeztük.