Feladat: 1534. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/március, 119 - 120. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/szeptember: 1534. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg először, hogy az év hányadik napjára esnek a hónapok 13-ik napjai: január 13-a az év 13. napja, február 13-a 13+31=44-ik napja, március 13-a 44+28=72-ik napja stb. Szökőévekben február nem 28, hanem 29 napos, ezért szökőévek esetén március 13-ától kezdve mindegyik egy nappal eltolódik. Így kapjuk a következő táblázatot:

 

A hónap 13-a az év hányadik napja
HónapI.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.X.XI.XII.Közönséges év134472103133164194225256286317347Szökőév134473104134165195226257287318348

 

Mivel egy hét 7 napból áll, azért az év két napja pontosan akkor esik a hétnek ugyanarra a napjára, ha a köztük levő napok száma héttel osztható, vagyis ha sorszámaik héttel osztva ugyanazt a maradékot adják. Határozzuk meg a fenti táblázatban a héttel való osztáskor kapott maradékot:
HónapI.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.X.XI.XII.Közönséges év622503514624Szökőév623614625035

 

Ha valamelyik évben például az első péntek január 4-én volt, akkor ennek az évnek azok a napjai esnek péntekre, amelyek sorszáma 7-tel osztva 4 maradékot ad. Ha ez közönséges év (ilyen volt 1974), akkor abban a fenti táblázat szerint IX. és XII. hónapokban esik 13-a péntekre. Ennek alapján könnyen összeszámolhatjuk, hogy attól függően, hogy az év első péntekje milyen napra esik, abban az évben hány 13-a esik péntekre:
Az év első péntekje január1234567Közönséges év1312221Szökőév1221231

 

Láthatjuk, hogy minden évben legalább egyszer és legfeljebb háromszor eshet 13-a péntekre. Hogy mindkét esetben valóban be is következik: 1971 közönséges év volt és január 2-a esett péntekre, így 3-szor fordult elő abban az évben péntek és 13-a; ebben az évben (1975) január 3-a esett péntekre, így ebben az évben csak egyszer fordul elő péntek és 13-a (a középső táblázat szerint júniusban).