Feladat:	1528. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Perge Lóránt
Füzet:	1975/január, 20 - 21. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: 1528. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{x\left(z-1\right)}{y-1}=\mathrm{3,}}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle \frac{x^2\left(z^2-1\right)}{y^2-1}=-\mathrm{3,}}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle \frac{x^3\left(z^3-1\right)}{y^3-1}=9.}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$ Az (1) egyenlet segítségével alakítsuk át (2)-t; valamint (3)-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle -3=\frac{x\left(z-1\right)}{y-1}\cdot \frac{x\left(z+1\right)}{y+1}=3\cdot \frac{x\left(z+1\right)}{y+1}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x\left(z+1\right)}{y+1}=-1.}\end{array}$ (4) Hasonlóképpen (3)-ból és (1)-ből: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2\left(z^2+z+1\right)}{y^2+y+1}=3.}\end{array}$ (5) Az $y\ne 1$, valamint $y\ne -1$ feltételek mellett (1) és (4) ekvivalens az ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle xz-x=3y-3}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle xz+x=-y-1}\hfill \end{array}}$ egyenletekkel, ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle xz=y-\mathrm{2,}\text{valamint}x=1-2y\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Ezeket az értékeket az (5)-ből rendezéssel adódó $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(xz\right)}^2+x\left(xz\right)+x^2=3y^2+3y+3}\end{array}$ egyenletbe helyettesítve, rendezés után a $-6y=0$ egyenletet kapjuk. Így $y=0$. (6)-ból először $x$, majd $z$ értéket határozhatjuk meg: $x=1$, $z=-2$. Mivel $y$ kapott értéke $1$-től és $-1$-től különbözik, így $x=1$, $y=0$, $z=-2$ megoldása az egyenletrendszernek, és más megoldás nincs.   Perge Loránt (Eger, Gárdonyi G. Gimn:, III. o. t.)