A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Válasszuk egységnek az ötszög oldalát, és jelöljük a legnagyobb szög nagyságát -val, a legkisebbét -val. A feladat feltevése szerint , és azt kell belátnunk, hogy . Mivel az ötszög szögeinek az összege nem kisebb -nál, ezért amiből alapján következik. Eszerint az ötszög szögei és közöttiek, tehát az átlók nagysága és között van. (Az szárakkal szerkesztett egyenlő szárú háromszögben ‐ amilyet alkot egy szabályos háromszög két csúcsa és a középpontja ‐ az alap hossza .) Tekintsük az ötszög egyik oldalát, és írjunk a végpontjai körül és sugarakkal köröket. A választott oldallal szemközti csúcsnak a körök által határolt körgyűrűkben kell lennie: megmutatjuk, hogy emiatt ebből a csúcsból a szemközti oldal -nál nagyobb szög alatt látszik.
Jelöljük a választott oldal végpontjait -val, -vel, az egységnyi sugarú körök egyik metszéspontját -val, és a két körgyűrű közös részének -val megegyező oldalon levő darabkájának a további csúcsait -vel, -val, -rel. Ekkor (mint az könnyen igazolható) , , szabályos háromszögek, és . Tehát a körívekkel határolt idom belseje benne van az körüli egység sugarú körben. Ennek a körnek a belső pontjaiból az szakasz az -hez tartozó kerületi szögnél nagyobb szög alatt látszik, s mivel ez a kerületi szög az -t tartalmazó oldalon -os, állításunkat beláttuk. Beláttuk tehát, hogy az -vel szemközti csúcsra . A háromszög egyenlő szárú, és benne . Emiatt , és hasonlóan . Tehát az ötszög -nél levő szögére teljesül: ez a szög tompaszög. Mivel az ötszög tetszőleges oldalából indultunk ki, ezzel beláttuk, hogy az ötszög mindegyik szöge tompaszög. |