Kezdőlap


Feladat:	1524. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikus geometria, Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: 1524. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán látható téglalapok oldalegyenesei az ábra egyenesei közül valók. Az ábrán $31$ vízszintes és $31$ függőleges egyenes van. Az első vízszintes egyenest $31$ -féleképpen választhatjuk, a másodikat a többi $30$ közül $30$ -féleképpen. Így azonban minden lehetséges választást kétszer állítottunk elő: egyszer, amikor a kettő közül az alsót választjuk előszőr, és másodszor, amikor a felsőt. Egy téglalap vízszintes oldalait tehát $\frac{30 \cdot 31}{2} = 465$ -féleképpen választhatjuk ki az ábra egyenesei közül. Ezek mindegyikéhez $465$ -féleképpen választhatjuk meg a függőleges oldalakat, így az összes téglalap száma $465^{2} = 216 225$ .

A választott téglalap akkor lesz négyzet, ha függőleges oldalainak a távolsága egyenlő a vízszintes oldalak távolságával. Válasszuk egységnek a szomszédos párhuzamosok között fellépő legkisebb távolságot. Ekkor az ábrán látható legkisebb négyzet oldala

1

egység, a legnagyobbé

45

egység. Nevezzük az egységnyi távolságra levő párhuzamosok közti síkrészt keskeny csíknak, a szomszédos, egymástól

2

egységre levő egyenesek által határolt sávot pedig széles csíknak. Vegyünk fel két tetszőleges párhuzamos egyenest, és számoljuk meg, hány keskeny és hány széles csík van közöttük. Legyen az előbbiek száma

k

, az utóbbiaké

l

, akkor a két egyenes távolsága

d = k + 2 l

. Itt

k

és

l

különbsége legfeljebb

1

lehet, hiszen a keskeny és széles csíkok felváltva követik egymást, tehát

k = l + ε

, ahol

ε

értéke

- 1

0

, vagy

+ 1

, és a két egyenes távolsága

d = 3 l + ε

. Eszerint a négyzetek oldalának a hossza

1

és

45

között bármilyen egész szám lehet, és az oldal hossza egyértelműen meghatározza a négyzetben levő széles csíkok számát: ez az oldal hosszához legközelebb levő

3

-mal osztható egész harmada. Az oldal hossza és a széles csíkok száma pedig egyértelműen meghatározza a keskeny csíkok számát is.
Ha az oldal hossza osztható

3

-mal, mondjuk

3 n

, akkor

l \leq n \leq 15

k = l = n

, és a négyzetben összesen

2 n

csík van. Az első csíkot az ábrán látható

30

csík közül

30 - (2 n - 1) = (31 - 2 n)

-féleképpen választhatjuk meg, hiszen utána még

(2 n - 1)

csíknak kell elférnie. Tehát a

3 n

oldalú négyzetek száma

{(31 - 2 n)}^{2}

, és azoknak a négyzeteknek a száma, amelyeknek az oldala osztható

3

-mal

\begin{matrix} A = 29^{2} + 27^{2} + ... + 3^{2} + 1^{2} . \end{matrix}

Ha az oldal hossza

(3 n + 1)

alakú, akkor

0 \leq n \leq 14

, és

k = n + 1

l = n

. Ebben az esetben az első és az utolsó csík keskeny, és az első csíkot a

15

keskeny csík közül

(15 - n)

-féleképpen választhatjuk ki. Tehát az ilyen négyzetek száma

\begin{matrix} B = 15^{2} + 14^{2} + ... + 2^{2} + 1^{2} . \end{matrix}

Ha az oldal hossza

(3 n - 1)

alakú, akkor

1 \leq n \leq 15

, és

k = n - 1

l = n

. Ebben az esetben a szélső csíkok szélesek, és az első csíkot

(16 - n)

-féleképpen választhatjuk ki. Az ilyen négyzetek száma szintén

B

, és az összes négyzet száma

N = A + 2 B

Megjegyzés. Nem tekintettük a teljes megoldás részének

N

numerikus kiszámolását, hiszen az első

n

négyzetszám összegére vonatkozó

\begin{matrix} S_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \end{matrix}

összefüggést a gyakorlatok megoldói még nem tanulják. Ennek alapján

\begin{matrix} N = S_{30} - 2 \cdot S_{15} = 6975, \end{matrix}

hiszen

B = S_{15}

, és

A = S_{30} - 4 S_{15}