Feladat:	1522. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 144. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/április: 1522. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{(1)}2\sqrt[]{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}=\mathrm{8,}\text{(2)}\sqrt[]{x^3}+\sqrt[]{y^3}=40.}\end{array}$ Az (1) egyenlet $z=\sqrt[]{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}$ változóra a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2z+z^2=8}\end{array}$ egyenletet jelenti, amelynek gyökei $z_1=-4$, $z_2=2$. Esetünkben az első gyök nem jöhet szóba, mivel $\sqrt[]{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}}$ nemnegatív. Emiatt (1) ekvivalens a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}=4}\end{array}$ (3) egyenlettel. Helyettesítsük az ebből kapott $\sqrt[]{y}=4-\sqrt[]{x}$ kifejezést (2)-ben $\sqrt[]{y}$ helyére. A kijelölt műveleteket elvégezve kapjuk az $\begin{array}{c}{\displaystyle x-4\sqrt[]{x}+2=0}\end{array}$ egyenletet. Ebből $\sqrt[]{x}$-re $2\pm \sqrt[]{2}$ adódik, és mivel ezek is, és a belőlük (3) alapján $\sqrt[]{y}$-ra kapott értékek is pozitívak, ezekből az (1)‐(2) rendszer gyökei: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{a}\sqrt[]{x}=2+\sqrt[]{2}\text{értékből}{x}_1=6+4\sqrt[]{2}\mathrm{,}{y}_1=6-4\sqrt[]{2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{a}\sqrt[]{x}=2-\sqrt[]{2}\text{értékből}{x}_1=6-4\sqrt[]{2}\mathrm{,}{y}_2=6+4\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$