Kezdőlap


Feladat:	1520. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/április, 150 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: 1520. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B$ húr a kört két részre vágja. Vizsgáljuk először az $A B$ ív fölötti pontjait a körnek.
A tengelyes szimmetria miatt elegendő az $A B$ szakasz $f$ felezőmerőlegese által kettévágott kör egyik részét vizsgálni, pl. amelynek pontjaira $A C < C B$ , s ekkor $A C + C F = F B$ .
Ha $C$ egybeesik az $A$ ponttal, akkor a kívánt tulajdonságú pont az $A B$ szakasz $G$ felezőpontja, ez tehát hozzátartozik a mértani helyhez.

Jelöljük

P

-vel az

f

felezőmerőlegesnek és a körnek metszéspontját, mivel

A P = P B

, azért

P

ugyancsak pontja a mértani helynek.
Legyen

C

most az

A P

ívnek egy

A

-tól és

P

-től különböző pontja. A

B C

félegyenesre

C

-ből

B

-vel ellentétes irányban mérjük fel a

C A' = C A

távolságot.

A' C A

háromszög egyenlő szárú és így

A A' C ∢ = \frac{A C B ∢}{2} = \frac{A P B ∢}{2} = \frac{γ}{2}

, a

C

pont helyzetétől függetlenül. Amíg

C

A B

szakasz

γ

látókörívén végig fut

A

-tól

P

-ig,

A'

A B

szakasz

\frac{γ}{2}

látószögű

k_{1}

körívén halad

A

-tól

P'

-ig, ahol

P'

B

-nek

P

-re való tükörképe (

k_{1}

és

k_{2}

az ábrán beírandó).
Mivel

A' F = F B = \frac{A' B}{2}

, a

k_{1}

kör

B

pontból felére kicsinyített megfelelő köríve lesz a keresett mértani hely egy része. Jelöljük ezt a kört

k_{2}

-vel. A

k_{2}

kör középpontja a

P B

szakasz felezőpontja, sugara

\frac{P B}{2}

, azaz

k_{2}

P B

szakasz fölé írt Thalész-kör.
A keresett mértani hely ennek a Thalész-körnek

G

és

P

közé eső azon íve, mely

f

-nek

A

-t tartalmazó felére esik. Ha

A C > C B

, akkor az előzőkhöz hasonlóan az

A C

félegyenesen

C

-n túli meghosszabbítására felmérjük

C B

-t. Most a keresett mértani hely a

P A

szakasz fölé írt Thalész-körnek

G

és

P

közé eső íve, amely az előző

k_{2}

körívnek

f

-re vonatkozó tükörképe.
Jelöljük

f

-nek a körrel való második metszéspontját

Q

-val. Legyen

C

A Q B

tetszőleges pontja, akkor

A Q B ∢ = A C B ∢ = 180^{\circ} - γ

és a keresett mértani hely az

A B

fölé írt

\frac{180^{\circ} - γ}{2}

látószögű körív felére kicsinyített megfelelő íve.
Összegezve eredményeinket, a keresett mértani hely az

A P

B P

A Q

és

B Q

szakaszok feletti Thalész-körök megfelelő íveiből áll össze.
Könnyű belátni, hogy a kapott mértani hely bármely pontja eleget tesz a feltételnek. Vegyünk fel pl. az

A P

Thalész-köríven egy tetszőleges

F

pontot és keressük meg az

A B

íven a hozzátartozó

C

pontot.

F

-et az

A

-val összekötő egyenes a

\frac{γ}{2}

látókörből kimetsz egy

A'

pontot, az

A B

látókörből egy

C

pontot.

C A' B

egyenlő szárú háromszög, melynek

C

-nél levő külső szöge

γ

és így

\begin{matrix} A' C + C F = B C + C F = A F . \end{matrix}