Kezdőlap


Feladat:	1517. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1974/november, 143 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: 1517. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az utasok közül senki sem fizethetett egy vagy három forintot, mert a villamoson a feltevés szerint senkinek nem volt egyforintosa. Ugyanezért nem fizethetett senki $2$ vagy $4$ forintot, mert akkor a kalauznak kellett volna visszaadnia $1$ vagy $3$ forintot. Így minden embernél legalább $5$ forintnak kellett lennie, azaz összesen a $20$ embernél $20 \cdot 5 = 100$ forintnak.
Ha volt a villamoson olyan ember, akinél legalább $5 + 8 = 13$ forint volt, akkor a villamoson utazóknál összesen legalább $100 + 8 = 108$ forint volt. Így feltehetjük, hogy senkinél sem volt $12$ forintnál több pénz. Viszont $13$ forintnál kevesebb összegű $5$ és $2 Ft$ -os érmékkel csak kétféleképpen lehet $1$ forintot kifizetni:

\begin{matrix} 1. & 2. \\ fizet: & 5 Ft & 3 \times 2 Ft \\ visszakap: & 2\times 2 Ft & 5 Ft \end{matrix}

Ezek szerint mindenki vagy az első vagy a második változat szerint fizetett. Legyen

k

azoknak az embereknek a száma, akik

5 Ft

-ossal fizettek. A jegyek megváltása után mind a

k

embernek a zsebében ugyanazok az érmék találhatók, mint a jegyváltás előtt, azzal a különbséggel, hogy egy

5 Ft

-os érme helyett

2

db,

2 Ft

-os érméjük lett. Így ha ez a

k

ember összeönti a pénzét jegyváltás előtt és jegyváltás után, akkor

k

5 Ft

-os hiányzik és

2 k

2 Ft

-os lesz helyette. Ez a

2 k

2 Ft

-os csak azoktól kerülhetett oda, akik

3 \times 2 Ft

-tal fizettek. Ezek száma

(20 - k)

, így ők

3 (20 - k)

kétforintost adtak a kalauznak. Ebből kellett kifizetnie az

5 Ft

-osokból visszajáró pénzt. Ezt csak akkor tehette meg, ha így legalább

2 k

kétforintost kapott, azaz

\begin{matrix} 3 (20 - k) \geq 2 k, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} k \leq 12. \end{matrix}

Így legföljebb

12

ember fizethetett

5 Ft

-ossal, vagyis legalább nyolcnál

6

forintnak kellett lennie. Ebben az esetben a fenti

100

forinton felül még további

8

forint is volt a villamoson.

Megjegyzés. A feladat nem állította, hogy valóban lehetséges a vázolt helyzet; azt kellett megmutatni, hogy ha lehetséges, akkor biztosan volt

108

forint a villamoson utazóknál. Hogy elképzelhető ez az eset, gondoljunk arra, hogy a húsz ember közül

12

-nél egy-egy

5 Ft

-os,

8

embernél pedig

3

‐

3

2 Ft

-os érme volt. Mikor felszálltak a villamosra, mindegyikük odaadta pénzét a kalauznak, az pedig a befolyt pénzből mindenkinek vissza tudta adni, ami visszajárt.