Feladat: 1515. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1975/január, 18 - 19. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Körülírt kör, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/február: 1515. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott kört k-val, középpontját O-val, sugarát r-rel, a magasságpontot M-mel, az adott hosszúságú oldal végpontjait A-val, B-vel, a harmadik csúcsot C-vel, Ck-beli átellenes pontját C1-gyel, AB felezőpontját F-fel. Ha az A-n átmenő magasságvonalat tükrözzük F-re, a tükörkép átmegy B-n, és merőleges BC-re, tehát Thalész-tétele szerint C1-en is átmegy. Ugyancsak átmegy C1-en a B-n átmenő magasságvonal F-re vonatkozó tükörképe, tehát M-nek F-re vonatkozó tükörképe C1. Emiatt F rajta van k-nak az M centrumú, 12 arányú kicsinyítésből származó képén, k1-en. E kör középpontja az MO szakasz O1 felezőpontja, sugara r2.
 

 

Pitagorasz-tétele szerint
OF=r2-d24,
ahol d az AB hossza, tehát F rajta van a O középpontú, r2=r2-d24 sugarú k2 körön is.
A k2 kört megkapjuk, ha k-ban tetszőleges d hosszúságú húrt veszünk fel, r2 ennek a húrnak O-tól mért távolsága. Megszerkeszthetjük k1-et is, k1 és k2 metszéspontjainak egyike lesz F. Mivel a két metszéspont szimmetrikus OM-re, az egyikből kapott háromszöget OM-re tükrözve a másikhoz tartozó megoldást kapjuk. Legyen tehát a metszéspontok egyike F (vagy ha a két kör érinti egymást, F legyen az érintési pont). M-nek F-re vonatkozó tükörképe C1, C1-nek k-beli átellenes pontja C, az A, B csúcsokat pedig az OF-re F-ben emelt merőleges metszi ki k-ból.
Az így megszerkesztett háromszögnek k körülírt köre, AB hossza 2r2-r22=d, és M a háromszög magasságpontja, hiszen az egyik csúcs átellenes pontjának a szemközti oldalfelezőpontjára vonatkozó tükörképe.
A k1, k2 körök létrejönnek, ha 0<d<2r. E két kör metszi egymást, ha
|r1-r2|<12OM<r1+r2
azaz
|r-4r2-d2|<OM<r+4r2-d2.
Ha itt egyenlőtlenség helyett valahol az egyenlőség jele érvényes, k1 és k2 érinti egymást. Ha d=2r, OM értéke csak r lehet, azaz M rajta van k-n. Tehát a keresett háromszögben C-nél derékszög van, C azonos M-mel, és AB a k kör tetszőleges M-en át nem menő átmérője lehet. Különben r2>0, tehát F nem lehet O-val azonos, és így AB-t F már egyértelműen meghatározza.
Ha tehát d>2r, nincs megoldás, d=2r esetén csak akkor van megoldás, ha M rajta van k-n, ekkor viszont végtelen sok megoldás van. Ha 0<d<2r, a megoldások száma rendre 2, 1, vagy 0, ha OM hossza az |r-4r2-d2|, r+4r2-d2 értékek közé esik, ezek egyikével egyenlő, vagy e határokon kívül esik.