Tegyük fel, hogy három kört már lerajzoltunk, és ezek $k$ részre osztották a síkot. Tekintsünk egy tetszőleges negyedik kört és tegyük fel, hogy ennek $l$ darab közös pontja van az előzőekkel.
Ha $l=0$, akkora négy kör $k+1$, ha $l>0$, akkor legfeljebb $k+l$ részre osztja a síkot. Az első állítás nyilvánvaló, a második pedig abból következik, hogy ha a negyedik körből egymás után elhagyjuk azokat az íveket, amelyek két egymás utáni metszéspont közé esnek, minden lépésben legfeljebb eggyel csökken a síkrészek száma (tudniillik az ív két oldalán levő síkrészek egybeolvadnak, de ezek nem feltétlenül különbözőek, mint azt az 1. ábra is mutatja, az $\widehat{AB}$ elhagyása után $\widehat{CD}$ elhagyása nem növel). Az ívek száma a negyedik körön pontosan annyi, mint a metszéspontok száma, vagyis $l$.

 

1. ábra

 

2. ábra