Kezdőlap


Feladat:	1513. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/január, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Mértani helyek, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: 1513. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Válasszuk a $P A B$ , $P D A$ háromszögekben $P A$ -t, a $P B C$ , $P C D$ háromszögekben $P C$ -t alapnak, és jelöljük a megfelelő magasságokat rendre $m_{1}$ -gyel, $m_{4}$ -gyel, $m_{2}$ -vel és $m_{3}$ -mal.

A területszorzatokra előírt egyenlőség szerint:

\begin{matrix} \frac{A P m_{1}}{2} \cdot \frac{C P m_{3}}{2} = \frac{C P m_{2}}{2} \cdot \frac{A P m_{4}}{2} . \end{matrix}

Ahonnan

\begin{matrix} m_{1} : m_{4} = m_{2} : m_{3} . \end{matrix}

(1)

Jelöljük az

m_{i}

-edik magasság talppontját

M_{i}

-vel

(i = 1, 2, 3, 4)

. Az arányok meghatározása céljából húzzuk meg a négyszög

B D

átlóját. Ez

P A

egyenest

E

-ben,

P C

egyenest

F

-ben metszi. Az

M_{1} B E \sim M_{4} D E

háromszög és

M_{2} B F \sim M_{3} D F

háromszög és ezért

\begin{matrix} m_{1} : m_{4} = B E : E D \\ m_{2} : m_{3} = B F : F D . & (2) \end{matrix}

(1) és (2) összevetéséből adódik, hogy

E \equiv F

. Ez akkor teljesül, ha

P

B D

átlón van, vagy az

A P

és

P C

egyenes egybeesik, azaz

P

A C

átló pontja.
A keresett mértani hely tehát a négyszög két átlója.

II. megoldás. Jelöljük az

A P

B D

egyenesek metszéspontját

Q

-val, és egy-egy idom területét csúcsainak zárójelben való felsorolásával. Az

A B Q

A D Q

háromszögeknek

B Q

D Q

alapjához tartozó magassága ugyanaz a szakasz, emiatt a háromszögek területének az aránya egyenlő alapjaik hosszának az arányával:

\begin{matrix} (A B Q) : (A D Q) = B Q : D Q . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} (B C Q) : (C D Q) = B Q : D Q \\ (P B Q) : (P D Q) = B Q : D Q . \end{matrix}

P

A Q

szakaszon van, akkor ezekből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (A B P) : (A D P) = (B C Q P) : (C D P Q), \end{matrix}

Ha pedig

P

Q C

szakaszon van, akkor

\begin{matrix} (A B P Q) : (D A P Q) = (B C P) : (C D P) . \end{matrix}

Tehát

P

a vizsgált mértani helyhez tartozik, ha az itt szereplő négyszögek valójában csak háromszögek. Így van ez, ha

P

és

Q

azonos, vagyis

P

B D

átlón van, vagy

P

és

Q

rajta van az

A C

átlón. Ha

P

A Q

szakasz belsejében van, és a

P Q

Q C

szakaszok nem állnak össze egy egyenessé, a

(B C Q P) : (C D P Q)

arány nem egyenlő a

(B C P) : (C D P)

aránnyal, hiszen e két arányban a tagok összege ugyanaz, a

(B C D)

terület, és a két arányban a megfelelő tagok nem egyenlőek. Hasonlóan kapjuk, hogy

P

akkor sem pontja a mértani helynek, ha a

C Q

szakasz belsejében van, és

A Q

Q C

nem áll össze egyenessé. Tehát a keresett mértani hely az

A C

B D

szakaszok belső pontjainak az egyesítése.