Feladat:	1511. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1975/március, 117 - 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Ponthalmazok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: 1511. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x>\mathrm{0,}y>\mathrm{0,}}& \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle 5\leqq \left[x\right]+\left[y\right]<\mathrm{8,}}& \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle 15\leqq 2\left[x\right]+3\left[y\right]<20.}& \text{(3)}\end{array}}$ Ha az $x$, $y$ számokra teljesül (1), egész részeikre $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[x\right]\ge \mathrm{0,}\left[y\right]\ge 0}\end{array}$ (4) teljesül. Az $n=\left[x\right]+\left[y\right]$ szám (2) szerint $5$, $6$ vagy $7$ lehet, és adott $n$ mellett az $m=\left[y\right]$ szám (4) szerint a $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\le m\le n}\end{array}$ (5) határok közé esik. Adott $n$, $m$ mellett $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\left[x\right]+3\left[y\right]=2n+m\mathrm{,}}\end{array}$ így $n$, $m$-re (3) szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle 15-2n\le m<20-2n}\end{array}$ (6) teljesül. Az $n=\mathrm{5,}\mathrm{6,}7$ értékek mellett $m$-re (6)-ból rendre az $5\le m<10$, $3\le m<8$, $1\le m<6$ határokat kapjuk. Ezek (5) szerint az $5\le m\le 5$; $3\le m\le 6$; $1\le m<6$ egyenlőtlenségekre redukálódnak. Tehát az $n$, $m=\left[y\right]$, $k=\left[x\right]$ egészek szóba jöhető értékei a következők (10 értékpár): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccccccccc}{\displaystyle n=\left[x\right]+\left[y\right]}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \multicolumn{4}{c}{{\displaystyle 6}}& \multicolumn{5}{c}{{\displaystyle 7}}\\ {\displaystyle m=\left[y\right]}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle 6}\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle 2}\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill \\ {\displaystyle k=\left[x\right]}\hfill & \hfill {\displaystyle 0}\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\hfill & \hfill {\displaystyle 2}\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle 0}\hfill & \hfill {\displaystyle 6}\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\hfill & \hfill {\displaystyle 2}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Adott $k$, $m$ egészek mellett azok a pontok, amelyek $x$, $y$ koordinátáira a derékszögű koordináta-rendszerben $k=\left[x\right]$, $m=\left[y\right]$ teljesül, a $\begin{array}{c}{\displaystyle k\le x<k+\mathrm{1,}m\le y<m+1}\end{array}$ (7) egyenlőtlenséggel meghatározott négyzethez tartoznak. Eszerint az (1)‐(2)‐(3) egyenlőtlenség-rendszernek eleget tevő $x$, $y$ számokhoz az 1. ábrán látható tíz négyzetből álló idom pontjai tartoznak.     A négyzetek csúcsai közül üres karika jelzi azokat, amelyek nem tartoznak a megoldás-halmazhoz, és kereszt jelöli a halmazhoz tartozókat. Nem tartozik a megoldáshoz a táblázatban szereplő $\left(0;5\right)$ és $\left(0;6\right)$ pont, hiszen első koordinátájára nem teljesül (1). A négyzetek oldalai közül (7) alapján vastagon húztuk ki a megoldás-halmazhoz tartozókat, de (1)-nek megfelelően elhagytuk közülük az $y$ tengelyen levőket.